Exercice 12, § 2

On emploie la notation L(G) de l’exercice 11.

a) Soit H un sous-groupe fermé de G. Tout élément de L(H) se prolonge en un élément de L(G). (Se ramener d’abord au cas où $G =\mathbf{R}^n\times D$ avec D discret, puis au cas où l’élément donné de L(H) est trivial sur $\mathbf{R}^n$, puis au cas où G est discret. Utiliser alors le fait que $\mathbf{R}$ est divisible.)

b) Tout morphisme continu de H dans $\mathbf{R}^n\times \mathbf{T}^I$, où I est un ensemble quelconque, se prolonge en un morphisme continu de G dans $\mathbf{R}^n\times \mathbf{T}^I$. (Utiliser a) et le th. 4 de II, p. 226.)

c) Réciproquement, soit A un groupe commutatif localement compact. On suppose que, pour tout groupe commutatif localement compact G, pour tout sous-groupe fermé H de G, et tout morphisme continu $\varphi$ de H dans A$,\varphi$ se prolonge en un morphisme continu de G dans A. Alors il existe un entier $n$ et un ensemble I tels que A soit isomorphe à $\mathbf{R}^n\times \mathbf{T}^I$. (Prenant $G =\mathbf{R},H =\mathbf{Z}$, on voit que A est connexe, donc de la forme $\mathbf{R}^n\times \widehat{D}$ avec D discret. Montrer que D est un $\mathbf{Z}$-module projectif, donc libre.)