Bài tập 12, § 2

Ta dùng ký hiệu L(G) của bài tập 11.

(a) Cho H là một nhóm con đóng của G. Mọi phần tử của L(H) mở rộng được thành một phần tử của L(G). (Trước hết rút gọn về trường hợp $G =\mathbf{R}^n\times D$ với D rời rạc, rồi về trường hợp phần tử đã cho của L(H) là tầm thường trên $\mathbf{R}^n$, rồi về trường hợp G rời rạc. Khi đó dùng sự kiện rằng $\mathbf{R}$ là chia được.)

(b) Mọi cấu xạ liên tục từ H vào $\mathbf{R}^n\times \mathbf{T}^I$, trong đó I là một tập hợp bất kỳ, đều mở rộng được thành một cấu xạ liên tục từ G vào $\mathbf{R}^n\times \mathbf{T}^I$. (Dùng a) và định lý 4 của II, p. 226.)

(c) Ngược lại, cho A là một nhóm giao hoán địa phương compact. Giả sử rằng, với mọi nhóm giao hoán địa phương compact G, với mọi nhóm con đóng H của G, và mọi cấu xạ liên tục $\varphi$ từ H vào A$,\varphi$ mở rộng được thành một cấu xạ liên tục từ G vào A. Khi đó tồn tại một số nguyên $n$ và một tập hợp I sao cho A đẳng cấu với $\mathbf{R}^n\times \mathbf{T}^I$. (Lấy $G =\mathbf{R},H =\mathbf{Z}$, ta thấy rằng A liên thông, do đó có dạng $\mathbf{R}^n\times \widehat{D}$ với D rời rạc. Chứng minh rằng D là một $\mathbf{Z}$-môđun xạ ảnh, do đó tự do.)