Exercice 13, § 2

Soient C une partie compacte de G et $\varepsilon >0$.

a) Soit $\alpha$ la mesure de Haar de G. Il existe une partie compacte D de G telle que $\alpha$(CD) $\leqslant (1 +\varepsilon )\alpha (D)$. (Le cas où $G =\mathbf{R}^n$ étant immédiat, on est ramené au cas où G admet un sous-groupe ouvert compact H, et on peut supposer C saturé suivant H ; on est alors ramené au cas où G est discret ; on peut ensuite supposer G de type fini, et enfin $G =\mathbf{Z}^p.$)

b) Il existe $k\in L^1(\widehat{G})$ telle que $\mathscr{F}(k)\in \mathscr{K}(G)$ vérifiant $\mathscr{F}(k)(x) = 1$ pour $x\in C$, et $\|k\|_1\leqslant 1 +\varepsilon$. (Prendre $k$ de la forme $\lambda f g$, où $\lambda$ est une constante et où $f, g\in L^2(\widehat{G})$ ont pour transformées de Fourier les fonctions caractéristiques d’ensembles convenables, en utilisant a).)