Bài tập 13, § 2

Cho C là một tập con compact của G và $\varepsilon >0$.

(a) Gọi $\alpha$ là độ đo Haar của G. Chứng minh rằng tồn tại một tập con compact D của G sao cho $\alpha$(CD) $\leqslant (1 +\varepsilon )\alpha (D)$. (Trường hợp $G =\mathbf{R}^n$ là ngay lập tức, ta được đưa về trường hợp G thừa nhận một nhóm con mở compact H, và có thể giả sử rằng C được bão hòa đối với H; khi đó ta được đưa về trường hợp G là rời rạc; khi đó có thể giả sử rằng G là kiểu hữu hạn, và cuối cùng $G =\mathbf{Z}^p.$)

(b) Chứng minh rằng tồn tại $k\in L^1(\widehat{G})$ sao cho $\mathscr{F}(k)\in \mathscr{K}(G)$ thỏa mãn $\mathscr{F}(k)(x) = 1$ for $x\in C$, và $\|k\|_1\leqslant 1 +\varepsilon$. (Lấy $k$ có dạng $\lambda f g$, trong đó $\lambda$ là một hằng và $f, g\in L^2(\widehat{G})$ có các biến đổi Fourier là các hàm đặc trưng của những tập hợp thích hợp, bằng cách dùng a).)