Exercice 14, § 2

a) On suppose que tout voisinage de $e$ dans G contient un élément d’ordre infini. Il existe une partie compacte métrique parfaite totalement discontinue P de G qui est un ensemble de Kronecker (exercice 15 de II, p. 265), et une mesure diffuse non nulle concentrée sur P. (Se ramener au cas où G est métrisable en utilisant l’exerc. 3, c). Imiter ensuite la construction de TG, IX, p. 64, lemme 3, et utiliser en même temps la partie e) de l’exerc. 15 de II, p. 265.)

b) Si $G = (\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})^{\mathbf{N}}$, il existe une partie compacte parfaite totalement discontinue P de G qui est de type $K_q$, et une mesure diffuse non nulle concentrée sur P.

c) On suppose G non discret. Il existe un élément $\tau$ de $\mathscr{M}^1(G)$ tel que $\|\mathscr{F}(\tau )\|_{\infty}< \varrho (\tau )$, où $\varrho (\tau )$ est le rayon spectral dans $\mathscr{M}^1(G)$. Il existe un élément non inversible $\tau '$ de $\mathscr{M}^1(G)$ tel que $\mathscr{F}(\tau ')\geqslant 1$ partout sur $\widehat{G}$. Il existe un caractère non hermitien de $\mathscr{M}^1(G)$. (Utiliser a), b), l’exerc. 3, c), et la partie f) de l’exerc. 15 de II, p. 265.)

d) Déduire de c) que $\widehat{G}$, qui est ouvert dans $\mathsf{X}(\mathscr{M}^1(G))$, n’est pas dense dans $\mathsf{X}(\mathscr{M}^1(G))$.