Bài tập 14, § 2

(a) Giả sử rằng mọi lân cận của $e$ trong G đều chứa một phần tử có cấp vô hạn. Tồn tại một tập con compact mêtric được hoàn hảo hoàn toàn không liên thông P của G là một tập hợp Kronecker (bài tập 15 của II, p. 265), và một độ đo khuếch tán khác không tập trung trên P. (Rút gọn về trường hợp G là mêtric bằng cách sử dụng bài tập 3, c). Sau đó bắt chước phép dựng của TG, IX, p. 64, bổ đề 3, và đồng thời sử dụng phần e) của bài tập 15 của II, p. 265.)

(b) Nếu $G = (\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})^{\mathbf{N}}$, tồn tại một tập con compact hoàn hảo hoàn toàn không liên thông P của G có kiểu $K_q$, và một độ đo khuếch tán khác không tập trung trên P.

(c) Giả sử G không rời rạc. Tồn tại một phần tử $\tau$ của $\mathscr{M}^1(G)$ sao cho $\|\mathscr{F}(\tau )\|_{\infty}< \varrho (\tau )$, trong đó $\varrho (\tau )$ là bán kính phổ trong $\mathscr{M}^1(G)$. Tồn tại một phần tử không khả nghịch $\tau '$ của $\mathscr{M}^1(G)$ sao cho $\mathscr{F}(\tau ')\geqslant 1$ ở mọi nơi trên $\widehat{G}$. Tồn tại một đặc trưng không hermitian của $\mathscr{M}^1(G)$. (Sử dụng a), b), bài tập 3, c), và phần f) của bài tập 15 của II, p. 265.)

(d) Suy ra từ c) rằng $\widehat{G}$, là mở trong $\mathsf{X}(\mathscr{M}^1(G))$, không trù mật trong $\mathsf{X}(\mathscr{M}^1(G))$.