Exercice 3, § 2

a) Soient K un groupe compact et $K_{(n)}$ l’ensemble des éléments d’ordre $n$ de K. Si $K\not= E_n$ pour tout $n$, alors l’ensemble des éléments d’ordre infini de K est dense dans K. (Si $K_{(n)}$ est d’intérieur non vide, on a $K_{(m)}= K$ pour un entier $m\geqslant n.$)

b) Soit Γ un groupe discret commutatif dont les éléments ne sont pas d’ordre borné. Alors Γ admet un quotient dénombrable avec la même propriété. (Raisonner comme dans la partie a) de l’exercice 2.)

c) Si tout voisinage de $e$ dans G contient un élément d’ordre infini, alors G possède un sous-groupe fermé métrisable avec la même propriété. (Se ramener au cas où G est compact, et utiliser a) et b).) Sinon, et si G n’est pas discret, il existe un entier $q >1$ tel que G contienne un sous-groupe fermé isomorphe à $(\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})^{\mathbf{N}}$. (Utiliser A, VII, p. 54, exerc. 4, c).)