Bài tập 3, § 2

a) Cho K là một nhóm compact và $K_{(n)}$ là tập hợp các phần tử cấp $n$ của K. Nếu $K\not= E_n$ với mọi $n$, thì tập hợp các phần tử có cấp vô hạn của K là trù mật trong K. (Nếu $K_{(n)}$ có nội điểm khác rỗng, thì ta có $K_{(m)}= K$ với một số nguyên $m\geqslant n.$)

b) Cho Γ là một nhóm giao hoán rời rạc mà các phần tử của nó không có cấp bị chặn. Khi đó Γ có một nhóm thương đếm được với cùng tính chất ấy. (Lập luận như trong phần a) của bài tập 2.)

c) Nếu mọi lân cận của $e$ trong G đều chứa một phần tử có cấp vô hạn, thì G có một nhóm con đóng khả mêtric với cùng tính chất ấy. (Rút gọn về trường hợp G compact, rồi dùng a) và b).) Nếu không, và nếu G không rời rạc, thì tồn tại một số nguyên $q >1$ sao cho G chứa một nhóm con đóng đẳng cấu với $(\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})^{\mathbf{N}}$. (Dùng A, VII, p. 54, bài tập 4, c).)