Exercice 1, § 3

Soit $(a_n)_{n\in\mathbf{N}}$ une suite de nombres complexes telle qu’il existe un réel $A\geqslant 0$ vérifiant $n|a_n|\leqslant A$ pour tout $n\in \mathbf{N}$. Pour $z\in \mathbf{C}$ de module $<1$, posons $\varphi (z) =\sum_{n\geqslant 0}a_nz^n$.

On suppose qu’il existe $\ell \in \mathbf{C}$ tel que

lim$_{xx<\in\mathbf{R}1^+}\varphi (x) =\ell$.

Pour $t\in \mathbf{R}^*_+$, on pose

On note $dx$ la mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}$ ainsi que sa restriction à $\mathbf{R}_+^*$.

a) Soient $s\leqslant t$ des éléments de $\mathbf{R}^*_+$. On a

$|g(s)-g(t)|\leqslant |a_{[t^{-1}+1]}|+ A$ log.

b) La fonction $g$ est lentement oscillante pour $t\rightarrow 0$.

c) Pour tout $t\in \mathbf{R}^*_+$, la fonction $x\mapsto g(t/x)xe^{-x}$ est intégrable sur $\mathbf{R}_+^*$, par rapport à la mesure de Haar $x^{-1}dx$.

d) Pour $0< x <1$, on a

$n\geqslant 0$

e) Soit $f(x) =xe^{-x}$ pour $x\in \mathbf{R}_+^*$. On a $f\in L^1(\mathbf{R}^*_+, dx/x)$; son intégrale est égale à 1, et on a $F =g*f$.

f) La fonction $g$ appartient à $L^{\infty}(\mathbf{R}^*_+)$. (Montrer que $F-g$ est bornée en utilisant a) ainsi que l’hypothèse.)

g) La transformée de Fourier de la fonction $f$ sur le groupe $\mathbf{R}_+^*$ ne s’annule pas. (Identifier $\mathscr{F}(f)$ à la fonction $y\mapsto \Gamma (1 +iy)$ et utiliser FVR, VII.)

h) On a

Cet énoncé est le théorème « taubérien » de Littlewood. L’hypothèse concernant la suite $(a_n)$, c’est-à-dire $a_n= O(1/n)$, peut d’ailleurs être affaiblie : il suffit qu’il existe une constante $A\geqslant 0$ telle que $na_n\geqslant -A$ pour tout entier $n\geqslant 1$ (« théorème taubérien de Hardy–Littlewood », voir par exemple J. Korevaar, Tauberian theory, Grundlehren math. wiss. 329, Springer (2004), th. 7.4, p. 16 ; le lecteur prendra soin de ne pas confondre ce théorème avec celui de FVR, I, p. 50, exercice 18).