Bài tập 1, § 3

Cho $(a_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là một dãy các số phức sao cho tồn tại một số thực $A\geqslant 0$ thỏa mãn $n|a_n|\leqslant A$ với mọi $n\in \mathbf{N}$. Với $z\in \mathbf{C}$ có môđun $<1$, đặt $\varphi (z) =\sum_{n\geqslant 0}a_nz^n$.

Giả sử tồn tại $\ell \in \mathbf{C}$ sao cho

lim$_{xx<\in\mathbf{R}1^+}\varphi (x) =\ell$.

Với $t\in \mathbf{R}^*_+$, đặt

Ta ký hiệu bởi $dx$ độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}$ cũng như hạn chế của nó lên $\mathbf{R}_+^*$.

(a) Cho $s\leqslant t$ là các phần tử của $\mathbf{R}^*_+$. Ta có

$|g(s)-g(t)|\leqslant |a_{[t^{-1}+1]}|+ A$ log.

(b) Hàm $g$ dao động chậm khi $t\rightarrow 0$.

(c) Với mọi $t\in \mathbf{R}^*_+$, hàm $x\mapsto g(t/x)xe^{-x}$ là khả tích trên $\mathbf{R}_+^*$, đối với độ đo Haar $x^{-1}dx$.

(d) Với $0< x <1$, ta có

$n\geqslant 0$

(e) Cho $f(x) =xe^{-x}$ với $x\in \mathbf{R}_+^*$. Ta có $f\in L^1(\mathbf{R}^*_+, dx/x)$; tích phân của nó bằng 1, và ta có $F =g*f$.

(f) Hàm $g$ thuộc về $L^{\infty}(\mathbf{R}^*_+)$. (Bây giờ chứng minh rằng $F-g$ bị chặn bằng cách sử dụng (a) cũng như giả thiết.)

(g) Biến đổi Fourier của hàm $f$ trên nhóm $\mathbf{R}_+^*$ không triệt tiêu. (Đồng nhất $\mathscr{F}(f)$ với hàm $y\mapsto \Gamma (1 +iy)$ và sử dụng FVR, VII.)

(h) Ta có

Đây là định lý “tauberian” của Littlewood. Giả thiết liên quan đến dãy $(a_n)$, nghĩa là $a_n= O(1/n)$, hơn nữa có thể được làm yếu đi: chỉ cần tồn tại một hằng $A\geqslant 0$ sao cho $na_n\geqslant -A$ với mọi số nguyên $n\geqslant 1$ (“định lý tauberian Hardy–Littlewood”, xem ví dụ J. Korevaar, Tauberian theory, Grundlehren math. wiss. 329, Springer (2004), th. 7.4, p. 16; người đọc cần chú ý không nhầm lẫn định lý này với định lý của FVR, I, p. 50, bài tập 18).