b) Cho M và N là các tập con đo được của $\widehat{G}$. Ta có $E_M= E_N$ khi và chỉ khi M và N bằng nhau sai khác một tập địa phương không đáng kể;

c) Mọi không gian con của $L^2(G)$ ổn định dưới các ánh xạ $f\mapsto \varepsilon_x*f$ với mọi $x\in G$ đều có dạng $E_M$ đối với một tập con đo được nào đó M của $\widehat{G}$.

Kết quả này sẽ được chứng minh sau (xem V, sẽ xuất hiện).

Vì $\mathscr{K}(\widehat{G})$ trù mật trong $L^2(\widehat{G})$ và biến đổi Fourier của $L^2(G)$ là một đẳng cự lên $L^2(\widehat{G})$ (định lý 1 của II, p. 215), nên không gian con V của $L^2(G)$ gồm các $f\in L^2(G)$ sao cho $\mathscr{F}_G(f)\in \mathscr{K}(\widehat{G})$ là trù mật trong $L^2(G)$.

Cho $g\in L^1(G)$. Tồn tại $g_1, g_2\in L^2(G)$ sao cho $g=g_1g_2$ (chẳng hạn có thể lấy $g_1=|g|^{1/2}$, và $g_2(x) = 0$ nếu $g(x) = 0,g_2(x) =$ $g(x)/g_1(x)$ trong trường hợp ngược lại). Do đó, từ điều vừa nói trên suy ra rằng $g$ là giới hạn của một dãy các hàm có dạng $h_1h_2$, trong đó $h_1$ và $h_2$ thuộc V. Bây giờ $\mathscr{F}_G(h_1h_2) =\mathscr{F}_G(h_1)*\mathscr{F}_G(h_2)$ (II, p. 223, mệnh đề 14), và $\mathscr{F}_G(h_1)*$ $\mathscr{F}_G(h_2)$ thuộc $\mathscr{K}(G)$. Bổ đề được chứng minh.

Cho $\varepsilon >0$. Tồn tại một hàm $g\in L^1(G)$ sao cho $\|f-f*g\|_1<$ $\varepsilon$ (mệnh đề 8 của II, p. 211 (iv)). Cho $h\in L^1(G)$ sao cho giá của $\overline{\mathscr{F}}_G(h)$ là compact và $\|f\|_1\|g-h\|_1< \varepsilon$ (bổ đề 1). Ta có

Theo giả thiết về $f$, hàm $\overline{\mathscr{F}}_G(f*h) =\overline{\mathscr{F}}_G(f)\overline{\mathscr{F}}_G(h)$ có giá compact rời nhau với V(I), điều này suy ra $f*h\in I$ (nhận xét 2 ở trên). Vì $\varepsilon$ nhỏ tùy ý, ta có $f\in$ I = I.

Vì đại số $L^1(G)$ là chính quy (mệnh đề 2 của II, p. 219) và không có căn (hệ quả của mệnh đề 22 của I, p. 126), và vì tập các hàm mà đối biến đổi Fourier có giá compact thì trù mật trong $L^1(G)$ (bổ đề 1), hệ quả 1 của I, p. 92 cho thấy iđêan I được chứa trong một iđêan cực đại chính quy của $L^1(G)$, nghĩa là trong hạt nhân của một đặc trưng $\widehat{y}$ của $L^1(G)$ (định lý 2 của I, p. 30); khi đó có thể lấy $\widehat{x}=\widehat{y}^{-1}($xem công thức (8) của II, p. 207).

Hệ quả 1 (Định lý Tauber của Wiener)

Cho $f\in L^1(G)$. Nếu biến đổi Fourier của $f$ không triệt tiêu, thì các hàm $f*\varepsilon_x:g\mapsto f(gx^{-1})$, trong đó $x$ chạy qua G, tạo thành một tập toàn phần trong $L^1(G)$ (EVT, I, p. 12, định nghĩa 1).

Cho V là không gian con vectơ đóng của $L^1(G)$ sinh bởi các $f*\varepsilon_x$. Theo INT, VIII, §4, hệ quả của mệnh đề 20, không gian V là một iđêan đóng của $L^1(G)$. Theo định lý 1, ta có $V = L^1(G)$.

a) Với mọi hàm $h\in L^1(G)$ sao cho $\int_Gh(x)dx= 1$, giới hạn của $h*g$ theo Φ bằng $\alpha$;

b) Giả sử thêm rằng $g$ dao động chậm theo Φ. Khi đó $g$ tiến tới $\alpha$ theo Φ.

Thay $g$ bằng $g-\alpha$, ta rút gọn về trường hợp $\alpha = 0$. Cho I là tập các hàm $h\in L^1(G)$ sao cho $h*g$ tiến tới 0 theo Φ. Tập I là một không gian con vectơ của $L^1(G)$ bất biến dưới phép tịnh tiến. Nó là một không gian đóng. Thật vậy, cho $h\in \overline{I}$. Với mọi hàm $h_0\in L^1(G)$ và mọi $x\in G$, ta có

Với mọi $\varepsilon >0$, tồn tại $h_0\in I$ sao cho $\|h-h_0\|_1\|g\|_{\infty}< \varepsilon$. Cho $M\in$ Φ sao cho $|(h_0*g)(x)|< \varepsilon$ với mọi $x\in M$. Khi đó ta có $|(h*g)(x)|<2\varepsilon$ với mọi $x\in M$, do đó $h*g$ hội tụ về 0 theo Φ. Điều này cho thấy rằng $h\in I$.

Vì vậy không gian I là một iđêan đóng của $L^1(G)$. Theo giả thiết ta có $f\in I$, nên $I = L^1(G)$ theo định lý 1 vì biến đổi Fourier của $f$ không triệt tiêu. Điều này suy ra a).

Hãy đặt mình dưới các giả thiết của b). Cho $\varepsilon >0$. Vì $g$ dao động chậm theo Φ, tồn tại $M\in \Phi$ và một lân cận compact V của $e$ sao cho

$x\in M$ and $y\in V =\Rightarrow |g(y^{-1}x)-g(x)|\leqslant \varepsilon$.

Cho $\varphi$ là hàm đặc trưng của V và $\mu=\int\varphi (x)dx$. Với mọi $x\in G$, ta có

Do đó với mọi $x\in M$, ta có

Vì, theo a), giới hạn của $\varphi *g$ theo Φ bằng không, nên ta có lim sup$_{\Phi}|g|\leqslant \varepsilon$. Vì $\varepsilon$ tùy ý, ta kết luận rằng giới hạn của $g$ theo Φ bằng không, điều đó chứng minh b).

b) hàm $\mathscr{F}_G(j)$ bằng 1 trong một lân cận của phần tử đơn vị của $\widehat{G}$;

c) với mọi $x\in K$, ta có $\|j-j*\varepsilon_x\|_1\leqslant \eta$.

Tập hợp $U_1$ các phần tử $\widehat{x}\in \widehat{G}$ sao cho

với mọi $x\in$ K là một lân cận của $e$ trong $\widehat{G}$. Cho U $\subset U_1$ là một lân cận mở, đối xứng và khả tích đối với độ đo Haar $m=d\widehat{x}$ của $\widehat{G}$ đối ngẫu với độ đo $dx$. Cho $V\subset U$ là một lân cận compact đối xứng của $e$ sao cho $m(V)\geqslant \frac{1}{2}m(U)$. Ta ký hiệu bởi $\varphi_U$ (resp. $\varphi_V$) hàm đặc trưng của U (resp. của V). Vì $\varphi_U$ thuộc $L^2(G)$, tồn tại $u\in L^2(G)$ sao cho $\varphi_U=\mathscr{F}_G(u)$ (định lý 1 của II, p. 215). Tương tự, tồn tại một hàm $v\in L^2(G)$ sao cho $\varphi_V=\mathscr{F}_G(v)$. Bây giờ chứng minh rằng hàm $j=\frac{1}{m(V)}uv$ thỏa mãn các tính chất đã yêu cầu. Ta có $j\in L^1(G)$.

a) Theo định lý Plancherel và điều kiện $m(V)\geqslant \frac{1}{2}m(U)$, ta có

b) Tồn tại một lân cận W của $e$ trong $\widehat{G}$ sao cho WV $\subset U$ (TG, II, p. 31, mệnh đề 4). Với mọi $\widehat{x}\in W$, ta có $\widehat{x}V\subset U$, và mệnh đề 14 của II, p. 223 suy ra

vì V đối xứng.

c) Nếu $x\in K$, ta có

vì $U\subset U_1$, và tương tự $\|v-v*\varepsilon_x\|^2_2\leqslant m(V)(\frac{\eta}{4})^2$. Do đó

Cho $\chi$ là một đặc trưng của $L^1(G)$. Phân biệt hai trường hợp tùy theo $\chi$ là không hay khác không. Nếu $\chi$ là không, cần kiểm tra rằng với mọi hàm $f\in L^1(G)$, tồn tại một dãy $(f_n)_{n\geqslant 1}$ trong $L^1(G)$ sao cho $\mathscr{F}(f_n)$ triệt tiêu ngoài một tập con compact của $\widehat{G}$ và sao cho $f_n*f$ tiến tới $f$ trong $L^1(G)$. Sự tồn tại của một dãy như vậy suy ra từ Bổ đề 1 ở trên và Mệnh đề 8 của II, p. 211.

Bây giờ giả sử rằng $\chi$ khác không, do đó $\chi \in \mathsf{X}(L^1(G)) =\widehat{G}$ (Mệnh đề 1 của II, p. 202). Cho $f\in L^1(G)$ sao cho $\mathscr{G}_{L^1(G)}(f)(\chi ) =$ $\overline{\mathscr{F}}(f)(\chi ) = 0$. Vấn đề là chứng minh sự tồn tại của một dãy $(f_n)_{n\geqslant 1}$ trong $L^1(G)$ sao cho $f*f_n$ hội tụ tới $f$ trong $L^1(G)$ và sao cho $\overline{\mathscr{F}}(f_n)$ triệt tiêu trong một lân cận của $\chi$. Ta có thể giả sử rằng $\|f\|_1= 1$. Bằng phép tịnh tiến trong $\widehat{G}$, ta rút gọn về trường hợp $\chi =e$.

Cho $K_n$ là một tập con compact của G sao cho

Cho $u_n\in L^1(G)$ là một hàm $\geqslant 0$ sao cho $\|u_n\|_1= 1$ và

(x. Mệnh đề 8 của II, p. 211, (iii)). Theo Bổ đề$\surd$ 2, tồn tại một hàm $j_n$ trong $L^1(G)$ sao cho $\|j_n\|_1\leqslant \overline{2}$, đối biến đổi Fourier của nó bằng 1 trong một lân cận của $e$, và hơn nữa sao cho $\|j_n-j_n*\varepsilon_x\|_1\leqslant n^{-1}$ với mọi $x\in K_n$. Đặt

Ta sẽ chứng minh rằng dãy $(f_n)_{n\geqslant 1}$ có các tính chất cần có. Trước hết, ta có

do đó biến đổi Fourier của $f_n$ triệt tiêu trong một lân cận của $\chi =e$. Mặt khác,

1

Bây giờ, với hầu khắp mọi $y\in G$, ta có

vì, theo giả thiết, ta có $\mathscr{F}(f)(e) =\int_Gf(x)dx= 0$. Do đó

$G-K_n$

$1\int\int$ 5 $\leqslant |f(x)|dx+ 4|f(x)|dx\leqslant$.

$n_{K_n}G-K_{_n}n$

Sau cùng, $\|f*f_n-f\|_1\leqslant 6n^{-1}$ và do đó $f*f_n$ hội tụ đến $f$ trong $L^1(G)$, như đã muốn.

Áp dụng mệnh đề 5, ta thu được kết quả sau:

Đối với một iđêan đóng tùy ý của $L^1(G)$, kết luận của định lý 2 nói chung là sai (xem bài tập 12 của II, p. 314). Chính xác hơn, bây giờ có thể chứng minh rằng, nếu G không compắc, thì tồn tại một iđêan đóng của $L^1(G)$ không tự liên hợp (xem chẳng hạn W. Rudin, Fourier analysis on groups, Interscience tracts in pure and applied mathematics, định lý 7.7.1.)

Ta đã thấy rằng $A(W) = V(W^{\circ})$. Vì $W\not= 0$, ta có $W^{\circ}\not= L^1(G)$, và khi đó $V(W^{\circ})$ khác rỗng theo đl. 1 của II, p. 252.

a) Với mọi lân cận U của A(W) trong $\widehat{G}$, mọi hàm của W là giới hạn yếu của các tổ hợp tuyến tính của các đặc trưng thuộc U;

b) Nếu biên của A(W) không chứa tập hoàn hảo khác rỗng nào, mọi hàm của W là giới hạn yếu của các tổ hợp tuyến tính của các đặc trưng thuộc W.

Để chứng minh a), theo định lý đối cực kép, chỉ cần chỉ ra rằng nếu $f$ là một hàm của $L^1(G)$ trực giao với các phần tử của U, thì $f$ trực giao với W. Khi đó đối biến đổi Fourier $\overline{\mathscr{F}}(f)$ triệt tiêu trên lân cận U của $A(W) = V(W^{\circ})$, nên mđ. 2 của II, p. 252 thực sự cho thấy rằng $f\in W^{\circ}$. Mệnh đề b) được thiết lập tương tự, dùng đl. 2 của II, p. 257 thay cho mđ. 2 của II, p. 252.