Exercice 10, § 3

On définit la fonction de von Mangoldt sur $\mathbf{N}^*$ par $\Lambda (n) = 0$ si $n$ n’est pas de la forme $p^k$ où $p$ est premier et $k\geqslant 1$, et $\Lambda (p^k) =$ log($p$).

On note $\zeta$ la fonction holomorphe sur $\mathbf{C}-\{1\}$ dont la restriction à l’ensemble des $s\in \mathbf{C}$ tels que $\mathscr{R}(s)>1$ coïncide avec la fonction zêta de Riemann (exercice 16 de II, p. 266).

Pour $x >0$ on pose

a) Montrer que pour tout $s\in \mathbf{C}$ tel que $\mathscr{R}(s)>1$, on a

$n\geqslant 1$ b) On a

lim$_{x\rightarrow+\infty}\frac{\psi(x)}{x}= 1$.

(Utiliser l’exercice 16 de II, p. 266 et l’exercice 9).

c) Soit $\pi (x)$ le nombre de nombres premiers $\leqslant x$. Montrer que

$\pi (x)\sim$ log($xx$)

quand $x\rightarrow +\infty$ (« théorème des nombres premiers », dû à Hadamard et de la Vallée Poussin).