Bài tập 10, § 3

Định nghĩa hàm von Mangoldt trên $\mathbf{N}^*$ bởi $\Lambda (n) = 0$ nếu $n$ không có dạng $p^k$ với $p$ là nguyên tố và $k\geqslant 1$, và $\Lambda (p^k) =$ log($p$).

Ký hiệu $\zeta$ là hàm chỉnh hình trên $\mathbf{C}-\{1\}$ mà hạn chế của nó lên tập hợp các $s\in \mathbf{C}$ sao cho $\mathscr{R}(s)>1$ trùng với hàm zeta Riemann (bài tập 16 của II, p. 266).

Với $x >0$ đặt

a) Bây giờ chứng minh rằng với mọi $s\in \mathbf{C}$ sao cho $\mathscr{R}(s)>1$, ta có

$n\geqslant 1$ b) Ta có

lim$_{x\rightarrow+\infty}\frac{\psi(x)}{x}= 1$.

(Dùng bài tập 16 của II, p. 266 và bài tập 9).

c) Gọi $\pi (x)$ là số các số nguyên tố $\leqslant x$. Bây giờ chứng minh rằng

$\pi (x)\sim$ log($xx$)

khi $x\rightarrow +\infty$ ("định lý số nguyên tố", do Hadamard và de la Vallée Poussin).