Exercice 11, § 3

On définit la fonction de Möbius $\mu$ sur $\mathbf{N}^*$ par $\mu(n) = (-1)^k$ si $n$ est le produit de $k$ facteurs premiers deux à deux distincts et $\mu(n) = 0$ dans le cas contraire.

Pour $x >0$ on pose

$n\leqslant x$

a) Montrer que pour $\mathscr{R}(s)>1$, on a

$n\geqslant 1$

b) Montrer que $f$ est bornée, et que $f(y)-f(x) = O((y-x)/x)$ pour $y\geqslant x\geqslant 1$, de sorte que $f$ est lentement oscillante sur le groupe $\mathbf{R}^*_+$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

c) Soient $a, b\in \mathbf{R}_+^*$. Pour $x >0$, soit $[x]$ la partie entière de $x$. On pose $g_0(t) = [t^{-1}]$ pour $t\in \mathbf{R}_+^*$ et

La fonction $g$ est intégrable sur $\mathbf{R}^*_+$ pour la mesure de Lebesgue. Si $s\in \mathbf{C}$ et $\mathscr{R}(s)>0$, on a

d) On a $\int_0^{+\infty}g(t)t^{ix}dt\not= 0$ pour tout $x\in \mathbf{R}$. (Utiliser la partie j) de l’exercice 16 de II, p. 266.)

e) Montrer que $\int_0^{+\infty}g(t/x)f(t)dt=o(x)$ quand $x\rightarrow +\infty$. En déduire que $M(x) =o(x)$ quand $x\rightarrow +\infty$.

(On peut montrer de manière élémentaire que ce résultat équivaut au théorème des nombres premiers, cf. exercice 10; voir par exemple H. Iwaniec et E. Kowalski, Analytic number theory, A.M.S Coll. Publ. 53 (2004), p. 31– 32.)