Bài tập 11, § 3

Định nghĩa hàm Möbius $\mu$ trên $\mathbf{N}^*$ bởi $\mu(n) = (-1)^k$ nếu $n$ là tích của $k$ thừa số nguyên tố phân biệt từng đôi một và $\mu(n) = 0$ trong trường hợp ngược lại.

Với $x >0$ đặt

$n\leqslant x$

a) Bây giờ chứng minh rằng với $\mathscr{R}(s)>1$, ta có

$n\geqslant 1$

b) Bây giờ chứng minh rằng $f$ bị chặn, và rằng $f(y)-f(x) = O((y-x)/x)$ với $y\geqslant x\geqslant 1$, sao cho $f$ dao động chậm trên nhóm $\mathbf{R}^*_+$ khi $x$ tiến tới $+\infty$.

c) Cho $a, b\in \mathbf{R}_+^*$. Với $x >0$, gọi $[x]$ là phần nguyên của $x$. Đặt $g_0(t) = [t^{-1}]$ với $t\in \mathbf{R}_+^*$ và

Hàm $g$ khả tích trên $\mathbf{R}^*_+$ đối với độ đo Lebesgue. Nếu $s\in \mathbf{C}$ và $\mathscr{R}(s)>0$, ta có

d) Ta có $\int_0^{+\infty}g(t)t^{ix}dt\not= 0$ với mọi $x\in \mathbf{R}$. (Sử dụng phần j) của bài tập 16 của II, p. 266.)

e) Bây giờ chứng minh rằng $\int_0^{+\infty}g(t/x)f(t)dt=o(x)$ khi $x\rightarrow +\infty$. Suy ra rằng $M(x) =o(x)$ khi $x\rightarrow +\infty$.

(Có thể chỉ ra một cách sơ cấp rằng kết quả này tương đương với định lý số nguyên tố, xem bài tập 10; xem chẳng hạn H. Iwaniec và E. Kowalski, Analytic number theory, A.M.S Coll. Publ. 53 (2004), p. 31– 32.)