Exercice 12, § 3

Soit J l’ensemble des $f\in \mathscr{S}(\mathbf{R}^3)$ telles que $\mathscr{F}(f)$ s’annule sur la sphère $\mathbf{S}_2$. Soit I l’ensemble des $f\in J$ telles que $(\partial /\partial y_1)(\mathscr{F}(f))$ s’annule sur $\mathbf{S}_2$. Soient $\overline{I}$ et $\overline{J}$ les adhérences de I et J dans $L^1(\mathbf{R}^3)$. Alors on a $V(I) = V(J) =\mathbf{S}_2$, mais $\overline{I}\not= J$. (Soit $\mu$ la mesure positive de masse 1 sur $\mathbf{S}_2$ invariante par le groupe orthogonal de $\mathbf{R}^3$; montrer à l’aide de l’exercice 20 de II, p. 269, c) que $f(t) =t_1\mathscr{F}(\mu)(t)$ est un élément de $L^{\infty}(\mathbf{R}^3)$ orthogonal à I mais pas à J.)