Bài tập 12, § 3

Cho J là tập hợp của $f\in \mathscr{S}(\mathbf{R}^3)$ sao cho $\mathscr{F}(f)$ triệt tiêu trên mặt cầu $\mathbf{S}_2$. Cho I là tập hợp của $f\in J$ sao cho $(\partial /\partial y_1)(\mathscr{F}(f))$ triệt tiêu trên $\mathbf{S}_2$. Cho $\overline{I}$ và $\overline{J}$ lần lượt là các bao đóng của I và J trong $L^1(\mathbf{R}^3)$. Khi đó $V(I) = V(J) =\mathbf{S}_2$, nhưng $\overline{I}\not= J$. (Gọi $\mu$ là độ đo dương có khối lượng 1 trên $\mathbf{S}_2$ bất biến dưới nhóm trực giao của $\mathbf{R}^3$; bây giờ chứng minh bằng cách sử dụng bài tập 20 của II, p. 269, c) rằng $f(t) =t_1\mathscr{F}(\mu)(t)$ là một phần tử của $L^{\infty}(\mathbf{R}^3)$ trực giao với I nhưng không trực giao với J.)