Exercice 13, § 3

On appelle C-ensemble dans $\widehat{G}$ une partie fermée E de $\widehat{G}$ possédant la propriété suivante : si $f\in L^1(G)$, si $\mathscr{F}(f)$ s’annule sur E, et si $\varepsilon >0$, il existe une fonction $g\in L^1(G)$ telle que $\|f-f*g\|\leqslant \varepsilon$ et telle que Supp$(\mathscr{F}(g))$ soit compact et disjoint de E.

a) Si E est un C-ensemble dans $\widehat{G}$, il n’existe qu’un idéal fermé I de $L^1(G)$ tel que V(I) = E.

b) Tout ensemble $\widehat{G}$ réduit à un élément est un C-ensemble.

c) La réunion de deux C-ensembles est un C-ensemble.

d) Tout ensemble déduit par translation d’un C-ensemble est un C-ensemble.

e) Soient H un sous-groupe fermé de $\widehat{G}$, E une partie fermée de H, $E'$ la frontière de E relativement à H. Si $E'$ est un C-ensemble relativement à $\widehat{G}$, alors E est un C-ensemble relativement à $\widehat{G}$. (Utiliser l’exerc. 21 de II, p. 270.) f) Dans $\mathbf{R}^n$, toute intersection E d’un nombre fini de demi-espaces fermés est un C-ensemble. (Raisonner par récurrence sur la dimension du sous-espace affine engendré par E, en utilisant b), c), d), e).)