Bài tập 13, § 3

Một tập C trong $\widehat{G}$ được gọi là một tập con đóng E của $\widehat{G}$ có tính chất sau: nếu $f\in L^1(G)$, nếu $\mathscr{F}(f)$ triệt tiêu trên E, và nếu $\varepsilon >0$, tồn tại một hàm $g\in L^1(G)$ sao cho $\|f-f*g\|\leqslant \varepsilon$ và sao cho Supp$(\mathscr{F}(g))$ là compact và rời nhau khỏi E.

a) Nếu E là một tập C trong $\widehat{G}$, chỉ tồn tại duy nhất một iđêan đóng I của $L^1(G)$ sao cho V(I) = E.

b) Mọi tập $\widehat{G}$ rút gọn còn một phần tử đều là một tập C.

c) Hợp của hai tập C là một tập C.

d) Mọi tập thu được bằng phép tịnh tiến từ một tập C đều là một tập C.

e) Cho H là một nhóm con đóng của $\widehat{G}$, E là một tập con đóng của H, $E'$ là biên của E tương đối với H. Nếu $E'$ là một tập C tương đối với $\widehat{G}$, thì E là một tập C tương đối với $\widehat{G}$. (Dùng Bài tập 21 của II, p. 270.) f) Trong $\mathbf{R}^n$, mọi giao E của một số hữu hạn các nửa không gian đóng là một tập C. (Lập luận bằng quy nạp theo chiều của không gian con affine sinh bởi E, sử dụng b), c), d), e).)