Exercice 15, § 3

On note $\mu$ une mesure de Haar de G et $\mathfrak{B}$ le filtre des voisinages de $e$ dans $\widehat{G}$.

a) Soit U un voisinage ouvert intégrable de $e$ dans G. Il existe une fonction $a\in L^1(G),a\geqslant 0$, d’intégrale 1, nulle hors de U, telle que $\mathscr{F}(a)\in L^1(\widehat{G})$, et

(Soit V un voisinage compact de $e$ tel que $V\subset U,\mu(U)<\overline{2}\mu(V)$ ; soit W un voisinage compact symétrique de $e$ tel que VW$^2\subset U$; prendre $a=\lambda f*g$, où $\lambda$ est une constante $>0$, et où $f, g$ sont les fonctions caractéristiques des ensembles VW et W.) b) Si $f\in L^{\infty}(G)$, on note $A(f)$ l’ensemble des éléments de $\widehat{G}$ qui appartiennent au sous-espace vectoriel faiblement fermé de $L^{\infty}(G)$ invariant par translation engendré par $f$. Si $f, g\in L^{\infty}(G)$, on a

(Soit U un voisinage de $e$. Montrer que $f g$ est limite faible de combinaisons linéaires d’éléments de $\widehat{G}$ appartenant à $A(f$)UA($g$)$U$.)

c) Soient $g\in L^{\infty}(G)$, K une partie compacte de $\widehat{G},f$ une fonction de $L^1(G)$ telle que $\mathscr{F}(f)$ soit nulle sur $A = A(g)$ et hors de K. Pour tout $V\in \mathfrak{B}$, soit $\omega (V)$ la borne supérieure de $|\mathscr{F}(f)|$ sur AV. Si

lim inf$_{\mathfrak{B}}\omega (V)^2\mu$((AV$\mu(V)$- $A$)$\cap K$)$= 0$,

alors $\langle f, g\rangle = 0$. (Soit $\varepsilon >0$. Il existe une partie compacte H de G telle que $\int_{G-H}|f|dx\leqslant \varepsilon$. Puis il existe un voisinage ouvert U de $e$ dans $\widehat{G}$ tel que $|\langle x,\widehat{x}\rangle -1|\leqslant \varepsilon$ pour $x\in H,\widehat{x}\in U$. Appliquant a) à $\widehat{G}$ et U, on obtient une fonction $a\in L^1(\widehat{G})$. Soit $b=\mathscr{F}(a)\in L^1(G)$. Utilisant b), montrer que $\mathscr{F}(bg)$ s’annule hors de AU. D’autre part,

et, comme $f, gb\in L^2(G)$,

G $\widehat{G}$ (AU-A)$\cap K$

Majorer cette dernière expression par :

$2\|g\|_{\infty}\omega (U)\surd\mu$((AU$\surd\overline{\mu(U)}-A$)$\cap K$)

pour conclure.)

d) Soient I un idéal fermé de $L^1(G)$, A = V(I)$,f$ une fonction de $L^1(G)$ telle que $\mathscr{F}(f)$ s’annule sur A, S l’ensemble des points où s’annule $\mathscr{F}(f)$, $S'$ la frontière de S, B le plus grand ensemble parfait contenu dans $S\cap A$. Pour $V\in \mathfrak{B}$, soit $\omega (V)$ la borne supérieure de $|\mathscr{F}(f)|$ sur AV. On suppose que tout point de B possède un voisinage K dans $\widehat{G}$ tel que

lim inf$_{\mathfrak{B}}\omega (V)^2\mu$((AV$\mu(V)$- $A$)$\cap K$)$= 0$.

Alors $f\in I$. (Utiliser le fait que $L^1(G)$ vérifie la condition de Ditkin, et raisonner comme dans la prop 5 de I, p. 94 ; soit $G'=\widehat{G}\cup \{\infty \}$ le compactifié d’Alexandroff de $\widehat{G}$, et soit N l’ensemble des $\chi \in G'$ tels que $\mathscr{F}(f)$ n’appartienne pas à $\mathscr{F}(I)$ au voisinage de $\chi$. Montrer d’abord que $N\subset B\cup \{\infty \}$. Puis, utilisant c), montrer que $N\subset \{\infty \}$. Enfin, montrer que $N =\emptyset .)$ e) Soient I un idéal fermé de $L^1(\mathbf{R}^n)$, A = V(I)$,f$ une fonction de $L^1(\mathbf{R}^n)$ telle que $\mathscr{F}(f)$ s’annule sur A. Pour $h >0$, soit $A_h$ l’ensemble des points de $\mathbf{R}^n$ extérieurs à A et situés à une distance de A inférieure à $h$, et soit $\omega (h) =$ sup$_{x\in A_h}|\mathscr{F}(f)(x)|$. Si

lim inf$_{h\rightarrow 0}\frac{\omega(h)^2\mu(A_h)}{h^n}= 0$

alors $f\in I$. (Utiliser d).)

f) Soient $f\in L^1(\mathbf{R}),\alpha \in ]0,1[$, et supposons $\int_{\mathbf{R}}|y|^{\alpha}|f(y)|dy <+\infty$. Alors il existe une constante $k$ telle que $|\mathscr{F}(f)(x+h)-\mathscr{F}(f)(x)|\leqslant kh^{\alpha}$ pour tout $x\in \mathbf{R}$ et tout $h\in \mathbf{R}$.

g) Soient I un idéal fermé de $L^1(\mathbf{R}),f$ une fonction de $L^1(\mathbf{R})$ telle que $\mathscr{F}(f)$ s’annule sur V(I). Si

alors on a $f\in I$. (Utiliser e) et f).)