Bài tập 15, § 3

Gọi $\mu$ là một độ đo Haar trên G và $\mathfrak{B}$ là bộ lọc các lân cận của $e$ trong $\widehat{G}$.

a) Cho U là một lân cận mở khả tích của $e$ trong G. Tồn tại một hàm $a\in L^1(G),a\geqslant 0$, có nguyên hàm bằng 1, triệt tiêu ở ngoài U, sao cho $\mathscr{F}(a)\in L^1(\widehat{G})$, và

(Cho V là một lân cận compact của $e$ sao cho $V\subset U,\mu(U)<\overline{2}\mu(V)$ ; cho W là một lân cận compact đối xứng của $e$ sao cho VW$^2\subset U$; lấy $a=\lambda f*g$, trong đó $\lambda$ là một hằng số $>0$, và trong đó $f, g$ là các hàm đặc trưng của các tập hợp VW và W.) b) Nếu $f\in L^{\infty}(G)$, gọi $A(f)$ là tập hợp các phần tử của $\widehat{G}$ thuộc không gian con vectơ đóng yếu, bất biến đối với phép tịnh tiến, của $L^{\infty}(G)$ được sinh bởi $f$. Nếu $f, g\in L^{\infty}(G)$, ta có

(Cho U là một lân cận của $e$. Bây giờ chứng minh rằng $f g$ là giới hạn yếu của các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của $\widehat{G}$ thuộc $A(f$)UA($g$)$U$.)

c) Cho $g\in L^{\infty}(G)$, K là một tập con compact của $\widehat{G}$, $f$ là một hàm của $L^1(G)$ sao cho $\mathscr{F}(f)$ triệt tiêu trên $A = A(g)$ và ở ngoài K. Với mọi $V\in \mathfrak{B}$, gọi $\omega (V)$ là cận trên bé nhất của $|\mathscr{F}(f)|$ trên AV. Nếu

lim inf$_{\mathfrak{B}}\omega (V)^2\mu$((AV$\mu(V)$- $A$)$\cap K$)$= 0$,

thì $\langle f, g\rangle = 0$. (Cho $\varepsilon >0$. Tồn tại một tập con compact H của G sao cho $\int_{G-H}|f|dx\leqslant \varepsilon$. Tiếp theo tồn tại một lân cận mở U của $e$ trong $\widehat{G}$ sao cho $|\langle x,\widehat{x}\rangle -1|\leqslant \varepsilon$ với $x\in H,\widehat{x}\in U$. Áp dụng a) cho $\widehat{G}$ và U, ta thu được một hàm $a\in L^1(\widehat{G})$. Cho $b=\mathscr{F}(a)\in L^1(G)$. Dùng b), bây giờ chứng minh rằng $\mathscr{F}(bg)$ triệt tiêu ở ngoài AU. Mặt khác,

và, vì $f, gb\in L^2(G)$,

G $\widehat{G}$ (AU-A)$\cap K$

Đánh giá biểu thức cuối cùng này bởi :

$2\|g\|_{\infty}\omega (U)\surd\mu$((AU$\surd\overline{\mu(U)}-A$)$\cap K$)

để kết luận.)

d) Cho I là một iđêan đóng của $L^1(G)$, A = V(I)$,f$ là một hàm của $L^1(G)$ sao cho $\mathscr{F}(f)$ triệt tiêu trên A, S là tập hợp các điểm mà tại đó $\mathscr{F}(f)$ triệt tiêu, $S'$ là biên của S, B là tập hoàn hảo lớn nhất được chứa trong $S\cap A$. Với $V\in \mathfrak{B}$, đặt $\omega (V)$ là cận trên đúng của $|\mathscr{F}(f)|$ trên AV. Giả sử rằng mọi điểm của B đều có một lân cận K trong $\widehat{G}$ sao cho

lim inf$_{\mathfrak{B}}\omega (V)^2\mu$((AV$\mu(V)$- $A$)$\cap K$)$= 0$.

Khi đó $f\in I$. (Dùng sự kiện rằng $L^1(G)$ thỏa mãn điều kiện Ditkin, và lập luận như trong Mệnh đề 5 của I, p. 94; đặt $G'=\widehat{G}\cup \{\infty \}$ là phép compact hóa Alexandroff của $\widehat{G}$, và đặt N là tập hợp các $\chi \in G'$ sao cho $\mathscr{F}(f)$ không thuộc $\mathscr{F}(I)$ trong một lân cận của $\chi$. Trước hết bây giờ chứng minh rằng $N\subset B\cup \{\infty \}$. Sau đó, dùng c), bây giờ chứng minh rằng $N\subset \{\infty \}$. Cuối cùng, bây giờ chứng minh rằng $N =\emptyset .$) e) Cho I là một iđêan đóng của $L^1(\mathbf{R}^n)$, A = V(I)$,f$ là một hàm của $L^1(\mathbf{R}^n)$ sao cho $\mathscr{F}(f)$ triệt tiêu trên A. Với $h >0$, gọi $A_h$ là tập hợp các điểm của $\mathbf{R}^n$ ở ngoài A và có khoảng cách đến A nhỏ hơn $h$, và đặt $\omega (h) =$ sup$_{x\in A_h}|\mathscr{F}(f)(x)|$. Nếu

lim inf$_{h\rightarrow 0}\frac{\omega(h)^2\mu(A_h)}{h^n}= 0$

thì $f\in I$. (Dùng d).)

f) Cho $f\in L^1(\mathbf{R}),\alpha \in ]0,1[$, và giả sử $\int_{\mathbf{R}}|y|^{\alpha}|f(y)|dy <+\infty$. Khi đó tồn tại một hằng số $k$ sao cho $|\mathscr{F}(f)(x+h)-\mathscr{F}(f)(x)|\leqslant kh^{\alpha}$ với mọi $x\in \mathbf{R}$ và mọi $h\in \mathbf{R}$.

g) Cho I là một iđêan đóng của $L^1(\mathbf{R}),f$ là một hàm của $L^1(\mathbf{R})$ sao cho $\mathscr{F}(f)$ triệt tiêu trên V(I). Nếu

thì ta có $f\in I$. (Dùng e) và f).)