Exercice 16, § 3

Soit $f\in L^{\infty}(G)$. On dit que $f$ vérifie la condition de synthèse spectrale si elle appartient à $Y(A(W_f))$, où $W_f$ est l’intersection de tous les sous-espaces faiblement fermés invariant par translation de $L^{\infty}(G)$ qui contiennent $f$.

a) Soient $\mu\in \mathscr{M}^1(\widehat{G})$ et $f=\overline{\mathscr{F}}_G(\mu)\in L^{\infty}(G)$. Alors $A(W_f)$ est le support de $\mu$. De plus, $f$ vérifie la condi$\widehat{ti}$on de synthèse spectrale.

b) Si G est discret, toute fonction $f\in L^2(G)$ vérifie la condition de synthèse spectrale.