Exercice 17, § 3

Pour tout $p\geqslant 1$, on identifie $L^p(\mathbf{R}_+)$ à un sous-espace fermé de $L^p(\mathbf{R})$.

Soit $f\in L^1(\mathbf{R}_+)$ la fonction définie par $f(x) = 2e^{-x}$ pour $x\in \mathbf{R}_+$, et soit $g\in L^1(\mathbf{R})$ la fonction telle que $g(x) =f(-x)$.

a) Montrer que $f+g=f*g$.

b) Soit A (resp. B) la sous-algèbre de $L^1(\mathbf{R})$ engendrée par $f$ (resp. par $f$ et $g$). Montrer que A est dense dans $L^1(\mathbf{R}_+)$. (Soit $h\in L^{\infty}(\mathbf{R}_+)$ tel que $\langle h, f^{*n}\rangle = 0$ pour tout entier $n\geqslant 1$, où $f^{*n}$ est la convolution itérée $n$ fois de $f$; montrer que la transformée de Laplace

définie pour tout $z\in \mathbf{C}$ tel que $\mathscr{R}(z)>0$, est nulle.) Déduire que B est dense dans $L^1(\mathbf{R})$.

c) Soit C une sous-algèbre fermée propre de $L^1(\mathbf{R})$ contenant A. On a $1\in$ Sp$_C(f)$. (Montrer que dans le cas contraire, la question a) et le calcul fonctionnel holomorphe dans C impliqueraient que $g\in C$.) d) Il existe un caractère $\chi$ de C tel que $\chi (f) = 1$ ; on a

pour toute fonction $\varphi \in L^1(\mathbf{R}_+)$.

e) Il existe une mesure $\mu\in \mathscr{M}^1(\mathbf{R})$ de norme 1 telle que $\chi (\varphi ) =\int\widehat{\varphi d\mu}$ pour toute fonction $\varphi \in C$.

f) La transformée de Fourier de $\mu$ est la fonction $x\mapsto e^{-|x|}$.

g) Soit $\varphi \in C$. Pour tout $y >0$, on a

(Utiliser la relation $\chi (\varphi *\psi ) =\chi (\varphi )\chi (\psi )$ pour $\psi \in L^1(\mathbf{R}_+)$.)

h) On a $C = L^1(\mathbf{R}_+)$. (Ainsi, la sous-algèbre $L^1(\mathbf{R}_+)$ est une sous-algèbre fermée maximale de $L^1(\mathbf{R})$.)