Bài tập 17, § 3

Với mọi $p\geqslant 1$, ta đồng nhất $L^p(\mathbf{R}_+)$ với một không gian con đóng của $L^p(\mathbf{R})$.

Cho $f\in L^1(\mathbf{R}_+)$ là hàm được xác định bởi $f(x) = 2e^{-x}$ với $x\in \mathbf{R}_+$, và cho $g\in L^1(\mathbf{R})$ là hàm sao cho $g(x) =f(-x)$.

a) Bây giờ chứng minh rằng $f+g=f*g$.

b) Gọi A (resp. B) là đại số con của $L^1(\mathbf{R})$ sinh bởi $f$ (resp. bởi $f$ và $g$). Bây giờ chứng minh rằng A trù mật trong $L^1(\mathbf{R}_+)$. (Cho $h\in L^{\infty}(\mathbf{R}_+)$ sao cho $\langle h, f^{*n}\rangle = 0$ với mọi số nguyên $n\geqslant 1$, trong đó $f^{*n}$ là tích chập lặp lại $n$ lần của $f$; bây giờ chứng minh rằng biến đổi Laplace

được xác định với mọi $z\in \mathbf{C}$ sao cho $\mathscr{R}(z)>0$, là không.) Suy ra rằng B trù mật trong $L^1(\mathbf{R})$.

c) Gọi C là một đại số con đóng thực sự của $L^1(\mathbf{R})$ chứa A. Ta có $1\in$ Sp$_C(f)$. (Chứng minh rằng nếu không, câu hỏi a) và phép tính phiếm hàm chỉnh hình trong C sẽ suy ra rằng $g\in C$.) d) Tồn tại một đặc trưng $\chi$ của C sao cho $\chi (f) = 1$; ta có

với mọi hàm $\varphi \in L^1(\mathbf{R}_+)$.

e) Tồn tại một độ đo $\mu\in \mathscr{M}^1(\mathbf{R})$ có chuẩn 1 sao cho $\chi (\varphi ) =\int\widehat{\varphi d\mu}$ với mọi hàm $\varphi \in C$.

f) Biến đổi Fourier của $\mu$ là hàm $x\mapsto e^{-|x|}$.

g) Cho $\varphi \in C$. Với mọi $y >0$, ta có

(Dùng quan hệ $\chi (\varphi *\psi ) =\chi (\varphi )\chi (\psi )$ với $\psi \in L^1(\mathbf{R}_+)$.)

h) Ta có $C = L^1(\mathbf{R}_+)$. (Vì thế, đại số con $L^1(\mathbf{R}_+)$ là một đại số con đóng cực đại của $L^1(\mathbf{R})$.)