Exercice 18, § 3

Soit G un groupe topologique commutatif discret ordonné. On note additivement la loi de groupe de G, et on note 0 son unité. On note $G^+$ l’ensemble des éléments $x\geqslant 0$ de G.

a) L’espace $L^1_+$ des fonctions $f\in L^1(G)$ s’annulant en dehors de $G^+$ est une sous-algèbre fermée de $L^1(G)$.

b) On suppose que G n’est pas archimédien (TG, V, p. 16, exercice 1 du §3). L’algèbre $L^1_+$ n’est pas maximale dans $L^1(G)$.

On suppose désormais que G est archimédien. Soit A une sous-algèbre fermée de $L^1(G)$ contenant $L^1_+$. Pour tout $x\in G$, on note $\varphi_x\in L^1(G)$ la fonction caractéristique de $\{x\}$. Elle est inversible dans $L^1(G)$ et son inverse est $\varphi_{-x}$.

c) Il existe $y\in G_+$ tel que $\varphi_y\in A$ et $\varphi_{-y}=\varphi^{-1}_y\notin A$ et il existe un caractère $\chi \not= 0$ de A tel que $\chi (y) = 0$.

d) Pour tout $x >0$ dans G, on a $\chi (x) = 0$. (Il existe un entier $k\geqslant 1$ tel que $-y+kx >0$.)

e) Il existe une mesure $\mu\in \mathscr{M}^1(G)$ de norme 1 telle que $\chi$ est la restriction de $\mu$ à l’algèbre A vue comme sous-espace de $\mathscr{C}(G)$. (Pour $f\in A$, on a $|\chi (f)|\leqslant \varrho (f)$ et de plus $\varrho (f) =\|f\|_{\infty}.$)

f) Soit $\widehat{\mu}: G\rightarrow \mathbf{C}$ la cotransformée de Fourier de $\mu$. On a $\widehat{\mu}(x) = 0$ si $x >0$. g) La mesure $\mu$ est la mesure de comptage sur G.

h) La sous-algèbre $L^1_+$ est maximale dans $L^1(G)$.