Bài tập 18, § 3

Cho G là một nhóm giao hoán tôpô rời rạc có thứ tự. Ta viết luật của nhóm G theo phép cộng, và ký hiệu phần tử khả nghịch của nó là 0. Ta ký hiệu $G^+$ là tập hợp các phần tử $x\geqslant 0$ của G.

a) Không gian $L^1_+$ gồm các hàm $f\in L^1(G)$ triệt tiêu ngoài $G^+$ là một đại số con đóng của $L^1(G)$.

b) Giả sử G không Archimedean (TG, V, p. 16, bài tập 1 của §3). Đại số $L^1_+$ không cực đại trong $L^1(G)$.

Bây giờ giả sử G là Archimedean. Cho A là một đại số con đóng của $L^1(G)$ chứa $L^1_+$. Với mọi $x\in G$, ta ký hiệu $\varphi_x\in L^1(G)$ là hàm đặc số của ${x}$. Nó khả nghịch trong $L^1(G)$ và nghịch đảo của nó là $\varphi_{-x}$.

c) Tồn tại $y\in G_+$ sao cho $\varphi_y\in A$ và $\varphi_{-y}=\varphi^{-1}_y\notin A$, và tồn tại một đặc trưng $\chi \not= 0$ của A sao cho $\chi (y) = 0$.

d) Với mọi $x >0$ trong G, ta có $\chi (x) = 0$. (Tồn tại một số nguyên $k\geqslant 1$ sao cho $-y+kx >0$.)

e) Tồn tại một độ đo $\mu\in \mathscr{M}^1(G)$ có chuẩn 1 sao cho $\chi$ là hạn chế của $\mu$ lên đại số A được xem như một không gian con của $\mathscr{C}(G)$. (Với $f\in A$, ta có $|\chi (f)|\leqslant \varrho (f)$ và hơn nữa $\varrho (f) =|f|_{\infty}.$)

f) Cho $\widehat{\mu}: G\rightarrow \mathbf{C}$ là đối biến đổi Fourier của $\mu$. Ta có $\widehat{\mu}(x) = 0$ nếu $x >0$.

g) Độ đo $\mu$ là độ đo đếm trên G.

h) Đại số con $L^1_+$ là cực đại trong $L^1(G)$.