Exercice 19, § 3

Pour $f\in L^1(\mathbf{R})$, on note $A_f$ la sous-algèbre fermée de $L^1(\mathbf{R})$ engendrée par $f$. a) Il existe $f\in L^1(\mathbf{R})$ telle que $A_f$ est une sous-algèbre maximale propre de $L^1(\mathbf{R})$.

On suppose dans la suite que $f\in L^1(\mathbf{R})$ est une fonction telle que $A_f$ est une sous-algèbre maximale propre de $L^1(\mathbf{R})$.

b) On note $S =\{0\} \cup \widehat{f}(\mathbf{R})\subset \mathbf{C}$. Montrer que la fonction $z\mapsto \overline{z}$ n’est pas limite uniforme sur S de fonctions polynômes. (Montrer d’abord que $\mathbf{C}-$ S n’est pas connexe.)

c) La sous-algèbre de $L^1(\mathbf{R})$ engendrée par $f$ et $\widetilde{f}$ est dense dans $L^1(\mathbf{R})$. d) La transformée de Fourier de $f$ est injective et ne s’annule pas sur $\mathbf{R}$. (Montrer que S ne saurait avoir deux composantes connexes bornées.)