Bài tập 19, § 3

Với $f\in L^1(\mathbf{R})$, gọi $A_f$ là đại số con đóng của $L^1(\mathbf{R})$ sinh bởi $f$. (a) Hãy cho một ví dụ về $f\in L^1(\mathbf{R})$ sao cho $A_f$ là một đại số con thực sự cực đại của $L^1(\mathbf{R})$.

Trong phần sau, giả sử rằng $f\in L^1(\mathbf{R})$ là một hàm sao cho $A_f$ là một đại số con thực sự cực đại của $L^1(\mathbf{R})$.

(b) Đặt $S =\{0\} \cup \widehat{f}(\mathbf{R})\subset \mathbf{C}$. Bây giờ chứng minh rằng hàm $z\mapsto \overline{z}$ không phải là giới hạn đều trên S của các hàm đa thức. (Trước hết chứng minh rằng $\mathbf{C}-$ S không liên thông.)

(c) Chứng minh rằng đại số con của $L^1(\mathbf{R})$ sinh bởi $f$ và $\widetilde{f}$ là trù mật trong $L^1(\mathbf{R})$. (d) Chứng minh rằng biến đổi Fourier của $f$ là đơn ánh và không triệt tiêu trên $\mathbf{R}$. (Chứng minh rằng S không thể có hai thành phần liên thông bị chặn.)