Exercice 2, § 3

Soient F une partie fermée de $\widehat{G}$ et K une partie compacte de $\widehat{G}$ telles que $F\cap K =\emptyset$. Montrer qu’il existe une fonction continue $g$ intégrable sur G telle que $\mathscr{F}(g)$ soit égale à 0 sur F et à 1 sur K. (Soit $f\in L^1(G)$ telle que $\mathscr{F}(f)$ est nulle sur F et égale à 1 sur K ; considérer $f*\varphi$, où $\varphi$ est la transformée de Fourier d’une fonction de la forme $h*h'$ avec $h\in \mathscr{K}(\widehat{G}),h'\in \mathscr{K}(\widehat{G})$, et où $h*h'= 1$ sur K.)