Exercice 3, § 3

Soit $g$ une fonction complexe définie sur $]0,+\infty [$, intégrable pour la mesure de Lebesgue. On suppose que $\int_0^{+\infty}g(t)dt= 1$ et que $\int_0^{+\infty}g(t)t^{ix}dt\not= 0$ pour tout $x\in \mathbf{R}$. Soit $f$ une fonction complexe mesurable et bornée dans $]0,+\infty [$, telle que $\frac{1}{x}\int_0^{+\infty}g(t/x)f(t)dt$ tende vers une limite finie $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

a) Pour toute fonction complexe $h$ définie sur $]0,+\infty [$, intégrable pour la mesure de Lebesgue et d’intégrale 1, on a

lim$_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x}\int_0^{+\infty}h(\frac{t}{x})f(t)dt=\ell$.

En particulier,

lim$_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x}\int_0^xf(t)dt=\ell$.

(Posant $g_1(t) =tg(t),h_1(t) =th(t)$, on a $g_1\in L^1(\mathbf{R}_+^*)$; la transformée de Fourier $\mathscr{F}(g_1)$ ne s’annule pas et $\breve{g}_1*f$ tend vers $\ell$, donc $h_1*f$ tend vers $\ell .$) b) Si $f(t)$ est lentement oscillante sur $\mathbf{R}^*_+$ quand $t$ tend vers $+\infty$, alors $f$ tend vers $\ell$ quand $t$ tend vers $+\infty$.