Bài tập 3, § 3

Cho $g$ là một hàm phức xác định trên $]0,+\infty [$, khả tích đối với độ đo Lebesgue. Ta giả sử rằng $\int_0^{+\infty}g(t)dt= 1$ và rằng $\int_0^{+\infty}g(t)t^{ix}dt\not= 0$ với mọi $x\in \mathbf{R}$. Cho $f$ là một hàm phức đo được và bị chặn trên $]0,+\infty [$, sao cho $\frac{1}{x}\int_0^{+\infty}g(t/x)f(t)dt$ tiến tới một giới hạn hữu hạn $\ell$ khi $x$ tiến tới $+\infty$.

a) Với mọi hàm phức $h$ xác định trên $]0,+\infty [$, khả tích đối với độ đo Lebesgue và có tích phân bằng 1, ta có

lim$_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x}\int_0^{+\infty}h(\frac{t}{x})f(t)dt=\ell$.

Đặc biệt,

lim$_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x}\int_0^xf(t)dt=\ell$.

(Đặt $g_1(t) =tg(t),h_1(t) =th(t)$, ta có $g_1\in L^1(\mathbf{R}_+^*)$; biến đổi Fourier $\mathscr{F}(g_1)$ không triệt tiêu và $\breve{g}_1*f$ tiến tới $\ell$, do đó $h_1*f$ tiến tới $\ell .$) b) Nếu $f(t)$ dao động chậm trên $\mathbf{R}^*_+$ khi $t$ tiến tới $+\infty$, thì $f$ tiến tới $\ell$ khi $t$ tiến tới $+\infty$.