Exercice 4, § 3

Soit $G =\mathbf{R}$. Pour tout nombre réel $\alpha >1$, on définit $f_{\alpha}\in L^1(\mathbf{R})$ par

2 si $0< x <1$

$f_{\alpha}(x) =$ 1 si $1\leqslant x < \alpha$

0 sinon.

a) Les fonctions $f*\varepsilon_x$ pour $x\in \mathbf{R}$ forment un ensemble total dans $L^1(\mathbf{R})$ si et seulement si $\alpha$ est irrationnel.

b) Les fonctions $f*\varepsilon_x$ pour $x\in \mathbf{R}$ forment un ensemble total dans $L^2(\mathbf{R})$.