Bài tập 4, § 3

Cho $G =\mathbf{R}$. Với mọi số thực $\alpha >1$, định nghĩa $f_{\alpha}\in L^1(\mathbf{R})$ bởi

2 nếu $0< x <1$

$f_{\alpha}(x) =$ 1 nếu $1\leqslant x < \alpha$

0 nếu không.

a) Các hàm $f*\varepsilon_x$ với $x\in \mathbf{R}$ tạo thành một tập toàn phần trong $L^1(\mathbf{R})$ khi và chỉ khi $\alpha$ là vô tỉ.

b) Các hàm $f*\varepsilon_x$ với $x\in \mathbf{R}$ tạo thành một tập toàn phần trong $L^2(\mathbf{R})$.