Exercice 6, § 3

Soient $f:\mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}$ et $g:\mathbf{R}\rightarrow \mathbf{C}$ deux fonctions. On suppose que $f\in$ $L^{\infty}(\mathbf{R})$ et que $g\in L^1(\mathbf{R}),\int_{\mathbf{R}}g(x)dx= 1$ et que $\mathscr{F}(g)$ ne s’annule pas. On suppose que $f$ est lentement décroissante, c’est-à-dire que pour $y > x$ tel que $y-x$ tend vers 0 et $x\rightarrow +\infty$, on a

lim inf($f(y)-f(x)$)$\geqslant 0$.

Si $(g*f)(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$, alors $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$.