Exercice 7, § 3

Soit $g:\mathbf{R}\rightarrow \mathbf{C}$ une fonction continue telle que :

$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}$ sup$_{n\leqslant t\leqslant n+1}|g(t)|<+\infty$.

a) On a $g\in L^1(\mathbf{R})$.

b) Supposons que $g$ soit d’intégrale 1 et que $\mathscr{F}(g)$ ne s’annule pas. Soit $\mu$ une mesure complexe sur $\mathbf{R}$ telle que $|\mu|([x, x+ 1])$ soit borné quand $x$ parcourt $\mathbf{R}$. Si $(g*\mu)(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$, alors, pour toute fonction continue $h:\mathbf{R}\rightarrow \mathbf{C}$ telle que

$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}$ sup$_{n\leqslant t\leqslant n+1}|h(t)|<+\infty$,

d’intégrale 1, la limite de $(h*\mu)(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ est égale à $\ell$. (Montrer que $h*\mu$ est lentement oscillante et que $(g*(h*\mu))(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty .$)