Bài tập 7, § 3

Cho $g:\mathbf{R}\rightarrow \mathbf{C}$ là một hàm liên tục sao cho:

$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}$ sup$_{n\leqslant t\leqslant n+1}|g(t)|<+\infty$.

a) Chứng minh rằng $g\in L^1(\mathbf{R})$.

b) Giả sử rằng $g$ có tích phân bằng 1 và $\mathscr{F}(g)$ không triệt tiêu. Cho $\mu$ là một độ đo phức trên $\mathbf{R}$ sao cho $|\mu|([x, x+ 1])$ bị chặn khi $x$ chạy trong $\mathbf{R}$. Nếu $(g*\mu)(x)$ tiến tới $\ell$ khi $x$ tiến tới $+\infty$, thì, với mọi hàm liên tục $h:\mathbf{R}\rightarrow \mathbf{C}$ sao cho

$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}$ sup$_{n\leqslant t\leqslant n+1}|h(t)|<+\infty$,

có tích phân bằng 1, giới hạn của $(h*\mu)(x)$ khi $x$ tiến tới $+\infty$ bằng $\ell$. (Chứng minh rằng $h*\mu$ dao động chậm và rằng $(g*(h*\mu))(x)$ tiến tới $\ell$ khi $x$ tiến tới $+\infty .$)