Exercice 8, § 3

Soit $g$ une fonction vérifiant les hypothèses de l’exerc. 3. En outre, on suppose $g\geqslant 0$ et lim inf$_{x\rightarrow 0}g(x)>0$. Soit $f$ une fonction réelle mesurable minorée sur $]0,+\infty [$. Si

lim$_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x}\int_0^{+\infty}g(\frac{t}{x})f(t)dt=\ell$

alors

tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$. (Montrer que $\sigma$ est bornée pour $x\geqslant 1$, puis que $\sigma$ est lentement décroissante, puis que

tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty .)$