Exercice 9, § 3

Soit $\varphi : [0,+\infty [\rightarrow \mathbf{R}$ une fonction $\geqslant 0$ croissante, telle que la fonction $t\mapsto e^{-\sigma t}\varphi (t)$ soit intégrable pour la mesure de Lebesgue lorsque $\sigma >1$. Pour tout $s\in \mathbf{C}$ tel que $\mathscr{R}(s)>1$, on pose

(« transformée de Laplace de $\varphi$ »).

Supposons qu’il existe $A\in \mathbf{C}$ avec la propriété suivante : lorsque $\sigma$ tend vers 1 par valeurs $>1$, la fonction

converge uniformément vers une fonction $g$ sur toute partie compacte de $\mathbf{R}$. Alors

$_{t\rightarrow}$lim$_{+\infty}\varphi (t)e^{-t}= A$

(« théorème taubérien de Ikehara »).

(On pose $a(t) =e^{-t}\varphi (t)$ pour $t >0,a(t) = 0$ pour $t\leqslant 0$, $A(t) = A$ pour $t >0$, $A(t) = 0$ pour $t\leqslant 0$. Soit $\lambda >0$. On pose :

2 sin $2\lambda t^2$

$1-$ si $|t|\leqslant 2\lambda$

0 si $|t|>2\lambda$.

Utilisant l’exerc. 1 de II, p. 262, le th. de Lebesgue–Fubini et le th. de Plancherel, montrer que :

1 $\int+\infty -\varepsilon t$ 1 $\int 2\lambda -ixy$

lim $\surd k_{\lambda}(x-t)(a(t)-A(t))edt=\surd K_{\lambda}(y)eg(y)dy$ $^{\varepsilon\rightarrow 0}2\pi_{-\infty}2\pi_{-2\lambda}$

et en déduire que

1 $\int^{+\infty}$

lim $\surd k_{\lambda}(x-t)a(t)dt= A$.

Prouver ensuite que $a$ est bornée et lentement décroissante. On peut enfin appliquer l’exerc. 6.)