Bài tập 9, § 3

Cho $\varphi : [0,+\infty [\rightarrow \mathbf{R}$ là một hàm $\geqslant 0$ tăng, sao cho hàm $t\mapsto e^{-\sigma t}\varphi (t)$ khả tích theo độ đo Lebesgue khi $\sigma >1$. Với mọi $s\in \mathbf{C}$ sao cho $\mathscr{R}(s)>1$, đặt

(“biến đổi Laplace của $\varphi$”).

Giả sử tồn tại $A\in \mathbf{C}$ có tính chất sau: khi $\sigma$ tiến tới 1 qua các giá trị $>1$, hàm

hội tụ đều tới một hàm $g$ trên mọi tập con compact của $\mathbf{R}$. Khi đó

$_{t\rightarrow}$lim$_{+\infty}\varphi (t)e^{-t}= A$

(“định lý Tauber Ikehara”).

(Đặt $a(t) =e^{-t}\varphi (t)$ với $t >0,a(t) = 0$ với $t\leqslant 0$, $A(t) = A$ với $t >0$, $A(t) = 0$ với $t\leqslant 0$. Cho $\lambda >0$. Ta đặt:

2 sin $2\lambda t^2$

$1-$ nếu $|t|\leqslant 2\lambda$

0 nếu $|t|>2\lambda$.

Sử dụng Bài tập 1 của II, p. 262, định lý Lebesgue–Fubini và định lý Plancherel, bây giờ chứng minh rằng:

1 $\int+\infty -\varepsilon t$ 1 $\int 2\lambda -ixy$

lim $\surd k_{\lambda}(x-t)(a(t)-A(t))edt=\surd K_{\lambda}(y)eg(y)dy$ $^{\varepsilon\rightarrow 0}2\pi_{-\infty}2\pi_{-2\lambda}$

và suy ra rằng

1 $\int^{+\infty}$

lim $\surd k_{\lambda}(x-t)a(t)dt= A$.

Sau đó chứng minh rằng $a$ bị chặn và giảm chậm. Cuối cùng ta có thể áp dụng Bài tập 6.)