Chapitre III

Applications linéaires compactes et perturbations

Dans ce chapitre, tous les espaces vectoriels considérés sont des espaces vectoriels sur un corps K égal à $\mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$. Les références à EVT, II faites dans ce livre concernent en général le cas où $K =\mathbf{R}$; pour le cas où $K =\mathbf{C}$, cf. EVT, II, p. 64 à 68.

On appelle espace semi-normé un espace vectoriel E muni d’une semi-norme $p$ et de la topologie définie par $p($cf. EVT, II, p. 2). On appelle boule unité de E, ou de $p$, l’ensemble des éléments $x$ de E tels que $p(x)\leqslant 1$.

Pour tout espace vectoriel E, on note $1_E$ l’application identique de E. Si E, F et G sont des espaces vectoriels et $u: E\rightarrow F,v: F\rightarrow G$ des applications linéaires, on note parfois $vu$ l’application linéaire $v\circ u$ de E dans G.

Soient E et F des espaces vectoriels topologiques. Une application linéaire continue de E dans F sera aussi appelée un morphisme et un endomorphisme lorsque F = E. Une application linéaire bijective de E dans F qui est continue ainsi que son inverse sera appelée un isomorphisme et, lorsque F = E, un automorphisme. Lorsque E et F sont des espaces semi-normés, les notions d’endomorphisme, d’isomorphisme et d’automorphisme se réfèrent à la structure d’espace vectoriel topologique sous-jacent.

Étant donnés des espaces vectoriels topologiques E et F, on note $\mathscr{L}^f(E; F)$ l’espace vectoriel des applications linéaires continues de rang fini de E dans F. On note aussi $\mathscr{L}^f(E)$ l’espace vectoriel $\mathscr{L}^f(E; E)$.

On rappelle qu’une application linéaire continue $u$ de E dans F est stricte si elle induit par passage au quotient un isomorphisme de $E/$ Ker($u$) dans $u(E)$ (TG, III, p. 16, déf. 1) ; il est équivalent de dire que l’image de tout voisinage de 0 dans E est un voisinage de 0 dans $u(E)$ (TG, III, p. 16, prop. 24).