Exercice 1, § 1

a) Soit E un espace de Banach sur K. Il existe une norme $x\mapsto \|x\|$ sur E, définissant la topologie de E, telle que $\|x\| \in G$ pour tout $x\in E$. On dira qu’une telle norme est ronde. Si la valuation de K n’est pas discrète, alors toute norme définissant la topologie de E est ronde.

b) Soient E et F des espaces de Banach sur K. On munit l’espace $\mathscr{L}(E; F)$ de la norme $\|u\|=$ sup$_{x\in E-\{0\}}\|u(x)\|/\|x\|$. L’espace $\mathscr{L}(E; F)$ est un espace de Banach sur K. Si la norme de E est ronde, alors $\|u\|=$ sup$_{\|x\|\leqslant 1}\|u(x)\|$. Si la norme de F est également ronde, alors la norme de $\mathscr{L}(E; F)$ est ronde. On notera $E'=\mathscr{L}(E; K)$, et on dira que $E'$ est l’espace dual de E.

c) Soient I un ensemble, F un espace de Banach sur K et $\mathscr{C}_0(I,F)$ le K-espace vectoriel des fonctions $f: I\rightarrow F$ telles que $\|f(i)\|$ tend vers 0 selon le filtre des complémentaires des parties finies de I. Muni de la norme $\|f\|=$ sup$_{i\in I}\|f(i)\|$, l’espace $\mathscr{C}_0(I,F)$ est un espace de Banach sur K, dont la norme est ronde si celle de F l’est. On note $\mathscr{C}_0(I) =\mathscr{C}_0(I,K)$.

d) Soit I un ensemble. Pour tout $i\in I$, on note $\varphi_i\in \mathscr{C}_0(I)$ la fonction caractéristique de $\{i\}$. Soit F un espace de Banach sur K. L’application $u\mapsto (u(\varphi_i))_{i\in I}$ est un isomorphisme de l’espace de Banach $\mathscr{L}(\mathscr{C}_0(I); F)$ dans l’espace de Banach $\mathscr{B}(I; K)$ (EVT, I, p. 4, exemple ; cf. EVT, I, p. 23, exercice 7).

e) On suppose que la valuation de K est discrète. Soit E un espace de Banach sur K dont la norme est ronde. Il existe un ensemble I tel que E est isomorphe isométriquement à l’espace de Banach $\mathscr{C}_0(I) ($cf. EVT, I, p. 23, exercice 7). f) On suppose que la valuation de K est discrète. Soient E un espace de Banach sur K muni d’une norme ronde et F un sous-espace vectoriel fermé de E. Il existe un projecteur continu de E dont l’image est F et qui est de norme $\leqslant 1$.