Bài tập 1, § 1

a) Cho E là một không gian Banach trên K. Tồn tại một chuẩn $x\mapsto \|x\|$ trên E, xác định tôpô của E, sao cho $\|x\| \in G$ với mọi $x\in E$. Một chuẩn như vậy sẽ được gọi là tròn. Nếu định giá của K không rời rạc, thì mọi chuẩn xác định tôpô của E đều là tròn.

b) Cho E và F là các không gian Banach trên K. Không gian $\mathscr{L}(E; F)$ được trang bị chuẩn $\|u\|=$ sup$_{x\in E-\{0\}}\|u(x)\|/\|x\|$. Không gian $\mathscr{L}(E; F)$ là một không gian Banach trên K. Nếu chuẩn của E là tròn, thì $\|u\|=$ sup$_{\|x\|\leqslant 1}\|u(x)\|$. Nếu chuẩn của F cũng là tròn, thì chuẩn của $\mathscr{L}(E; F)$ là tròn. Ta sẽ viết $E'=\mathscr{L}(E; K)$, và sẽ nói rằng $E'$ là không gian đối ngẫu của E.

c) Cho I là một tập hợp, F là một không gian Banach trên K và $\mathscr{C}_0(I,F)$ là không gian vectơ trên K của các hàm $f: I\rightarrow F$ sao cho $\|f(i)\|$ tiến tới 0 theo lọc các phần bù của các tập con hữu hạn của I. Được trang bị chuẩn $\|f\|=$ sup$_{i\in I}\|f(i)\|$, không gian $\mathscr{C}_0(I,F)$ là một không gian Banach trên K, mà chuẩn của nó là tròn nếu chuẩn của F là tròn. Ta viết $\mathscr{C}_0(I) =\mathscr{C}_0(I,K)$.

d) Cho I là một tập hợp. Với mọi $i\in I$, ta viết $\varphi_i\in \mathscr{C}_0(I)$ cho hàm đặc số của $\{i\}$. Cho F là một không gian Banach trên K. Ánh xạ $u\mapsto (u(\varphi_i))_{i\in I}$ là một đẳng cấu của không gian Banach $\mathscr{L}(\mathscr{C}_0(I); F)$ vào không gian Banach $\mathscr{B}(I; K)$ (EVT, I, p. 4, ví dụ ; cf. EVT, I, p. 23, bài tập 7).

e) Giả sử rằng định giá của K là rời rạc. Cho E là một không gian Banach trên K có chuẩn là tròn. Tồn tại một tập hợp I sao cho E đẳng cấu đẳng cự với không gian Banach $\mathscr{C}_0(I) ($cf. EVT, I, p. 23, bài tập 7).

f) Giả sử rằng định giá của K là rời rạc. Cho E là một không gian Banach trên K được trang bị một chuẩn tròn và F là một không gian con vectơ đóng của E. Tồn tại một phép chiếu liên tục của E có ảnh là F và có chuẩn $\leqslant 1$.