a) Mọi ánh xạ tuyến tính compact từ E vào F đều liên tục ;

b) Mọi ánh xạ tuyến tính liên tục hạng hữu hạn từ E vào F đều compact;

c) Tập $\mathscr{L}^c(E; F)$ các ánh xạ tuyến tính compact từ E vào F là một không gian con vectơ của $\mathscr{L}(E; F)$.

Ta chứng minh a). Cho $v: E\rightarrow F$ là một ánh xạ tuyến tính compact và U là một lân cận của 0 trong F. Chọn một lân cận V của 0 trong E sao cho $v(V)$ tương đối compact trong F. Khi đó $v(V)$ bị chặn và do đó tồn tại một số thực $\lambda >0$ sao cho tập $v(\lambda V)$ được chứa trong U; do đó, $v$ liên tục.

Cho $u: E\rightarrow F$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục hạng hữu hạn. Vì ảnh $u(E)$ của $u$ là tách và có số chiều hữu hạn, tồn tại một lân cận compact A của 0 trong $u(E)$. Tập hợp $V =\overset{-1}{u}(A)$ là một lân cận của 0 trong E và ta có $u(V)\subset A$, do đó ánh xạ tuyến tính $u$ là compact. Điều này chứng minh mệnh đề b).

Cho $u_1$ và $u_2$ là các ánh xạ tuyến tính compact từ E vào F. Cho $V_1$ và $V_2$ là các lân cận của 0 trong E sao cho các tập hợp $u_1(V_1)$ và $u_2(V_2)$ là tương đối compact trong F. Đặt $V = V_1\cap V_2$ và $u=u_1+u_2$. Khi đó $u(V)$ được chứa trong $u_1(V_1) +u_2(V_2)$, do đó là tương đối compact trong F, và ánh xạ tuyến tính $u$ là compact. Ngay lập tức thấy rằng $\mathscr{L}^c(E; F)$ ổn định dưới phép vị tự. Điều này chứng minh rằng $\mathscr{L}^c(E; F)$ là một không gian con vectơ của $\mathscr{L}(E; F)$, do đó mệnh đề c).

Cho $u$ là một phần tử của $\mathscr{L}(E; F)$ thuộc bao đóng của $\mathscr{L}^c(E; F)$ đối với tôpô hội tụ bị chặn. Ký hiệu bởi B quả cầu đơn vị của E và bởi V một lân cận của 0 trong F. Chọn một lân cận W của 0 trong F sao cho $W + W\subset V$. Theo giả thiết, tồn tại một phần tử $v$ của $\mathscr{L}^c(E; F)$ sao cho $(u-v)(B)\subset W$. Vì tập hợp $v(B)$ là tương đối compact trong F, tồn tại một tập con hữu hạn M của F sao cho $v(B)\subset M + W$, do đó $u(B)\subset M + V$. Vì điều này đúng với mọi V, tập hợp $u(B)$ là tiền compact trong F, do đó bao đóng của nó cũng vậy (TG, II, prop. 1, p. 30). Vì tập sau là đóng và bị chặn, nó đầy đủ theo giả thiết đặt lên F, và do đó compact (TG, II, cor., p. 30). Suy ra rằng $u(B)$ là tương đối compact. Điều này chứng minh rằng $u$ thuộc $\mathscr{L}^c(E; F)$.

Nếu F lồi địa phương, giả thiết của mệnh đề có nghĩa là F là gần đầy đủ (EVT, III, p. 8, déf. 6).

Điều này suy ra từ các Mệnh đề 1 và 2.

Tồn tại các không gian Banach E và F sao cho $\mathscr{L}^f(E; F)$ không trù mật trong $\mathscr{L}^c(E; F) ($cf. Nhận xét 6 của III, p. 16 và Định lý 4 của III, p. 19, b)).

Theo giả thiết, tồn tại một lân cận V của 0 trong E sao cho $u(V)$ là tương đối compact trong F. Đặt $U =\overset{-1}{v}(V)$. Khi đó U là một lân cận của 0 trong $E_1$ và ảnh của nó bởi $w\circ u\circ v$ được chứa trong $w(u$(V)), do đó là tương đối compact trong $F_1$. Vậy ánh xạ tuyến tính $w\circ u\circ v$ là compact.

Cho E là một không gian vectơ tôpô tách được; theo các Mệnh đề 1 và 3, $\mathscr{L}^c(E)$ là một iđêan hai phía của đại số $\mathscr{L}(E)$. Khi E là một không gian Banach, $\mathscr{L}(E)$ là một đại số Banach và $\mathscr{L}^c(E)$ là một iđêan hai phía đóng của $\mathscr{L}(E)$ (hệ quả của Mệnh đề 2). Nó là một iđêan thực sự nếu E có chiều vô hạn (xem Nhận xét 3, p. 2).

Thật vậy, không gian $\mathscr{L}^c(E)$ là một iđêan hai phía đóng, do đó tự liên hợp, của $\mathscr{L}(E)$ (Bổ đề 15 của I, p. 122).

Đồng nhất F với một không gian con vectơ tôpô của $\widehat{F}$ và ký hiệu bởi $\widehat{u}:\widehat{E}\rightarrow \widehat{F}$ ánh xạ tuyến tính liên tục duy nhất sao cho $\widehat{u}\circ j$ trùng với $u$ trên E. Vì $u$ là compact, tồn tại một lân cận V của 0 trong E và một tập con compact A của F sao cho $u(V)\subset A$. Ta có $\widehat{u}(j(V))\subset A$, do đó $\widehat{u}(j(V))\subset A$. Bây giờ $j(V)$ là một lân cận của 0 trong $\widehat{E}$ (TG, III, p. 24, Mệnh đề 7). Suy ra ảnh của $\widehat{u}$ được chứa trong F và ánh xạ tuyến tính liên tục $v:\widehat{E}\rightarrow F$ suy ra từ $\widehat{u}$ bằng cách chuyển qua không gian con là compact. Vì $j(E)$ trù mật trong $\widehat{E}$, ánh xạ $v$ là ánh xạ tuyến tính liên tục duy nhất từ $\widehat{E}$ vào F sao cho $u=v\circ j$.

Cho V là một lân cận của 0 trong E sao cho $u(V)$ là compact tương đối trong F. Cho $p$ là một nửa chuẩn liên tục trên E sao cho V chứa quả cầu đơn vị của $p$ (EVT, II, p. 26, hệ quả). Ký hiệu bởi $E_p$ không gian nửa chuẩn nhận được bằng cách trang bị cho E nửa chuẩn $p$. Ánh xạ $u$ là một ánh xạ tuyến tính compact từ $E_p$ vào F. Hoàn thành tách được G của $E_p$ là một không gian Banach. Ký hiệu bởi $v$ ánh xạ tuyến tính chính tắc từ $E_p$ vào G. Theo Mệnh đề 4, tồn tại một ánh xạ tuyến tính compact $w: G\rightarrow F$ sao cho $u=w\circ v$. Mặt khác, $v$ là một ánh xạ liên tục từ E vào G vì tôpô của E mịn hơn tôpô của $E_p$.

Ánh xạ $u$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F, và cũng từ $E_{\sigma}$ vào $F_{\sigma}$. Do đó hạn chế của nó lên B là một ánh xạ liên tục của tập hợp B, được trang bị tôpô cảm sinh bởi $\sigma (E,E')$, vào không gian $F_{\sigma}$. Bây giờ tập hợp $u(B)$ được chứa trong một tập con compact C của F (nhận xét 1 của III, p. 2) và không gian $F_{\sigma}$ là tách, nên các tôpô cảm sinh trên C bởi tôpô của F và của $F_{\sigma}$ trùng nhau. Mệnh đề được suy ra.

Thật vậy, tập hợp gồm điểm $x$ và các điểm của dãy $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là một tập con bị chặn của E (EVT, III, p. 3, hệ quả của mệnh đề 2).

Thật vậy tập hợp B, được trang bị tôpô cảm sinh bởi $\sigma (E',E)$, là compact (EVT, III, p. 17, hệ quả 2).

Thật vậy, tôpô cảm sinh trên B bởi $\sigma (E',E)$ là mêtric hóa được (EVT, III, p. 19, hệ quả 2). Do đó giả thiết của hệ quả kéo theo rằng hạn chế của $u$ lên B là một ánh xạ liên tục từ B vào F, khi B được trang bị tôpô $\sigma (E',E)$, và hệ quả suy ra từ mệnh đề trước.

Không gian $E'_{\mathfrak{S}}$ là tách theo TG, X, p. 8, mệnh đề 7; trên quả cầu đơn vị của $E'$, $\mathfrak{S}$-tôpô trùng với tôpô yếu $\sigma (E',E)$ (EVT, III, p. 17, mệnh đề 5), do đó có hệ quả.

(i) Ánh xạ tuyến tính $u$ là compact ;

(ii) Tập hợp $u(B)$ là một tập con compact của F ;

(iii) Hạn chế của $u$ lên B là một ánh xạ liên tục của tập hợp B, được trang bị tôpô cảm sinh bởi $\sigma (E,E')$, vào F ;

(iv) Với mọi dãy $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ các điểm của B hội tụ đến 0 đối với tôpô $\sigma (E,E')$, dãy $(u(x_n))_{n\in\mathbf{N}}$ hội tụ đến 0 trong F ;

(v) Từ mọi dãy vô hạn các điểm của $u(B)$, có thể trích ra một dãy hội tụ trong F ;

(vi) Mọi dãy vô hạn các điểm của $u(B)$ đều có một giá trị bám trong F.

Vì E là một không gian phản xạ, B là một tập con compact của $E_{\sigma}$ (TVS, IV, p. 17, mệnh đề 6), do đó (iii) suy ra (ii). Điều kiện (ii) suy ra (i) theo định nghĩa, và điều kiện (i) suy ra (iii) theo mệnh đề 6. Cũng là sơ cấp khi thấy rằng (iii) suy ra (iv) và (v) suy ra (vi).

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng (iv) suy ra (v). Cho $(x_n)$ là một dãy vô hạn các điểm của B. Vì B là một tập con compact của $E_{\sigma}$, theo định lý của $\breve{S}$mulian (TVS, IV, p. 36, định lý 2), tồn tại một dãy $(y_n)$, trích từ dãy $(x_n)$, hội tụ trong $E_{\sigma}$ đến một giới hạn $y$. Dãy $(y_n-y)$ bị chặn trong $E_{\sigma}$, nên cũng bị chặn trong E (TVS, IV, p. 1, mệnh đề 1); do đó nó được chứa trong một tập vị tự của B. Nếu điều kiện (iv) được thỏa mãn, dãy $(u(y_n-y))$ hội tụ đến 0 trong F, và $(u(y_n))$, là một dãy trích từ $(u(x_n))$, hội tụ đến $u(y)$. Điều này chứng minh rằng (iv) suy ra (v).

Để kết luận, hãy chứng minh rằng (vi) suy ra (ii). Cho $j: F\rightarrow \widehat{F}$ là đơn ánh chính tắc của F vào không gian hoàn thành của nó. Dưới giả thiết (vi), $u(B)$ là một tập con tiền compact của F (TVS, IV, p. 32, mệnh đề 1), nên $j(u(B))$ là một tập con tương đối compact của $\widehat{F}$ (TG, II, n$^{\circ}2$, p. 29) và $j\circ u$ là một ánh xạ tuyến tính compact. Theo tính tương đương đã chứng minh ở trên của các điều kiện (i) và (ii), $j(u(B))$ là một tập con compact của $\widehat{F}$. Do đó, $u(B)$ là một tập con compact của F.

a) Nếu ánh xạ $u$ là compact, thì chuyển vị của nó $^tu$ là một ánh xạ tuyến tính compact từ $F'_c$ vào $E'_c$ và là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ $F'_c$ vào $E'_b$;

b) Giả sử rằng không gian E là một không gian nửa chuẩn và không gian F là gần đầy đủ. Nếu chuyển vị $^tu$ là một ánh xạ liên tục từ $F'_c$ vào $E'_b$, thì ánh xạ tuyến tính $u$ là compact.

Trước hết giả sử rằng ánh xạ tuyến tính $u$ là compact. Khi đó tồn tại một lân cận V của 0 trong E mà ảnh của nó dưới $u$ được chứa trong một tập con compact C của F. Theo định nghĩa (TVS, II, p. 47, định nghĩa 2 and p. 68, định nghĩa 1), cực $C^{\circ}$ của C là một lân cận của 0 trong $F'_c$ và ta có $^tu(C^{\circ})\subset V^{\circ}$. Bây giờ $V^{\circ}$ là một tập con đồng liên tục của $E'$, đóng đối với tôpô yếu, nên compact trong $E'_c$ (TVS, III, p. 17, hệ quả 2 and mệnh đề 5). Điều này chứng minh rằng $^tu$ là một ánh xạ tuyến tính compact từ $F'_c$ vào $E'_c$.

Giữ các giả thiết trước đây và cho U là một lân cận của 0 trong $E'_b$. Nó chứa cực $A^{\circ}$ của một tập con bị chặn A của E. Vì ánh xạ tuyến tính $u$ là compact, tập $u(A)$ là tương đối compact trong F (nhận xét 1 của III, p. 2), và $(^tu)^{-1}(A^{\circ}) =u(A)^{\circ}$ là một lân cận của 0 trong $F'_c$. Điều này chứng minh rằng $^tu$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ $F'_c$ vào $E'_b$.

Bây giờ ta đặt mình dưới các giả thiết của b) và ký hiệu bởi B quả cầu đơn vị của E. Đối cực $B^{\circ}$ của B là quả cầu đơn vị của $E'_b$ và ta có $(^tu)^{-1}(B^{\circ}) =u(B)^{\circ}$. Nếu $^tu$ là một ánh xạ liên tục từ $F'_c$ vào $E'_b$, thì tập $u(B)^{\circ}$ do đó là một lân cận của 0 trong $F'_c$; vì vậy nó chứa đối cực $C^{\circ}$ của một tập con compắc C của F. Theo định lý lưỡng cực (EVT, II, p. 49, cor. 3), tập $u(B)$ được chứa trong bao lồi đóng của $C\cup \{0\}$; tập này compắc vì không gian F là gần đầy đủ (EVT, III, p. 8). Điều này chứng tỏ rằng ánh xạ tuyến tính $u$ là compắc.

(i) Ánh xạ tuyến tính $u$ từ E vào F là compắc;

(ii) Ánh xạ tuyến tính $^tu$ từ $F'$ vào $E'$ là compắc;

(iii) Ánh xạ tuyến tính $^tu$ từ $F'_c$ vào $E'$ là liên tục.

Sự tương đương của (i) và (iii) suy ra từ mệnh đề 9, a) và b); hệ quả (iii)$\Rightarrow$(ii) suy ra từ sự kiện rằng ánh xạ đồng nhất từ $F'$ vào $F'_c$ là compắc (hệ quả của mệnh đề 7 của III, p. 7).

Để kết luận, hãy chứng minh rằng điều kiện (ii) kéo theo (i). Giả sử rằng ánh xạ tuyến tính $^tu: F'\rightarrow E'$ là compắc. Từ hệ quả (i)$\Rightarrow$(ii), áp dụng cho $^tu$, suy ra rằng $^{tt}u$ là một ánh xạ tuyến tính compắc từ $E''$ vào $F''$. Ký hiệu bởi $v$ ánh xạ tuyến tính chính tắc từ E vào $E''$; nó liên tục. Vì F được đồng nhất với một không gian con vectơ đóng của $F''$ và vì $u$ trùng với $^t(^tu)\circ v$ trên E, nên từ nhận xét 5 của III, p. 3 suy ra rằng ánh xạ tuyến tính $u$ là compắc.

Ký hiệu bởi $B'$ quả cầu đơn vị của $F'$, được trang bị tôpô cảm sinh bởi tôpô $\sigma (F',F)$. Vì F là một không gian Banach kiểu đếm được, $B'$ là một không gian compắc khả mêtric (EVT, III, p. 19, cor. 2). Dưới giả thiết đã nêu, hạn chế của $^tu$ lên $B'$ là một ánh xạ liên tục từ $B'$ vào $E'$ và $^tu(B')$ là một tập con compắc của $E'$. Theo hệ quả 1, ánh xạ tuyến tính $u$ là compắc.

Ta sẽ suy ra từ đó kết quả sau đây.

Có thể giả sử rằng X là một tập con lồi của một không gian lồi địa phương E. Cho N là bao đóng của $\{0\}$ trong E và $\pi : E\rightarrow E/N$ là toàn cấu chính tắc. Vì X là một không gian tách được, hạn chế của $\pi$ lên X là đơn ánh; vì X compắc, nên do đó nó xác định một đồng phôi từ X lên một tập con lồi compắc khác rỗng của không gian lồi địa phương tách được $E/N$. Điều này cho phép ta giả sử rằng không gian E là tách được.

Cho $f: X\rightarrow X$ là một ánh xạ liên tục. Ánh xạ $h: X\rightarrow E$ được định nghĩa bởi $h(x) =f(x)-x$ là liên tục; vì X compắc, ảnh $h(X)$ là đóng. Do đó chỉ cần chứng minh rằng 0 là điểm bám của $h$(X), nghĩa là với mọi lân cận mở lồi U của 0 trong E, tồn tại một điểm $b$ của X sao cho $f(b)-b\in U$.

Cho U là một lân cận lồi của 0 trong E. Với mọi $a\in X$, ký hiệu $V_a$ là tập hợp các phần tử $x$ của X sao cho $f(x)-f(a)\in U$. Nó mở trong X và chứa $a$. Vì X compắc và khác rỗng, tồn tại một tập con hữu hạn khác rỗng A của X sao cho các tập $V_a$, với $a\in A$, phủ X. Cho $(\varphi_a)_{a\in A}$ là một phân hoạch đơn vị liên tục phụ thuộc vào phủ $(V_a)_{a\in A}$ (TG, IX, p. 43, prop. 1 and p. 47, th. 3). Cho F là không gian con vectơ của E sinh bởi $f(A)$. Với mọi $x\in F\cap X$, đặt

Điều này xác định một ánh xạ liên tục $g: F\cap X\rightarrow E$. Ảnh của nó được chứa trong bao lồi của $f$(A), do đó trong $F\cap X$. Vì tập hợp $F\cap X$ là một tập con compắc lồi khác rỗng của một không gian vectơ hữu hạn chiều, ánh xạ $g$ có một điểm bất động $b\in F\cap X$ theo Định lý 1. Ta có

Với mọi $a\in$ A sao cho $\varphi_a(b)\not = 0$, ta có $b\in V_a$ nên $f(b)-f(a)\in U$. Vì U là lồi, suy ra $f(b)-b\in U$, điều này hoàn tất chứng minh.

(i) Không tồn tại không gian con vectơ đóng nào của E, phân biệt với $\{0\}$ và E, ổn định dưới A;

(ii) Tập hợp A chứa một tự đồng cấu compắc khác không. Khi đó hoán tập của A được thu về các phép vị tự.

Thay thế A bởi đại số con có đơn vị của $\mathscr{L}(E)$ sinh bởi A, ta quy được về trường hợp A là một đại số con có đơn vị của $\mathscr{L}(E)$. Khi đó, cho $h$ là một tự đồng cấu compắc khác không của E thuộc A.

Tồn tại một phần tử $x_0$ của E sao cho $h(x_0)\not = 0$. Cho V là một lân cận đóng của $h(x_0)$ không chứa 0. Vì tự đồng cấu $h$ là compắc, có thể chọn một lân cận mở lồi U của $x_0$ sao cho $h(U)$ là một tập con tương đối compắc của V. Do đó bao đóng C của $h(U)$ là một tập con compắc lồi của E; vì nó được chứa trong V nên nó không chứa 0.

Cho $y$ là một điểm của C. Ký hiệu $Ay$ là tập hợp các ảnh của $y$ dưới các phần tử của A. Nó là một không gian con vectơ của E ổn định dưới A; nó khác không vì chứa $y$. Theo giả thiết (i) của định lý, tập $Ay$ trù mật trong E. Do đó tồn tại một phần tử $b$ của A sao cho $b(y)\in U$. Vì tập C là compắc, tồn tại một

$-1$

họ hữu hạn $(b_1, . . . , b_n)$ các phần tử của A sao cho các tập $b_i(U)$ phủ C. Tồn tại một phân hoạch đơn vị liên tục $(\varphi_1, . . . , \varphi_n)$ trên C phụ thuộc vào phủ này (TG, IX, p. 47, th. 3). Định nghĩa một ánh xạ $f: C\rightarrow E$ bằng cách đặt

với mọi $x\in C$; đó là một ánh xạ liên tục. Vì U lồi và $b_i(x)$ thuộc U khi $\varphi_i(x)$ khác không, ta có $f(C)\subset U$ và $h(f(C))\subset C$. Theo định lý Leray-Schauder (Định lý 2 của III, p. 11), tồn tại một phần tử $x\in C$ sao cho $h(f(x)) =x$. Khi đó đặt

Ta có $h(a(x)) =h(f(x)) =x$ và $x$ khác không vì 0 không thuộc C, do đó hạt nhân của $ha-1_E$ là khác không.

Hãy hoàn tất chứng minh của Định lý 3. Gọi $a$ là một phần tử của A sao cho hạt nhân T của $ha-1_E$ là khác không (Bổ đề 1). Gọi $i$ là đơn ánh chính tắc từ T vào E. Ánh xạ tuyến tính $i$ bằng $h\circ a\circ i$, và vì thế là compắc. Do đó chiều của T là hữu hạn (Nhận xét 3 của III, p. 2). Gọi $u$ là một phần tử của $\mathscr{L}(E)$ giao hoán với A. Vì $u$ giao hoán với $h\circ a$, ta có $u(T)\subset T$. Vì T có số chiều hữu hạn khác không trên trường đóng đại số $\mathbf{C}$, tự đồng cấu của T cảm sinh bởi $u$ có một trị riêng $\lambda$.

Đặt F = Ker($u-\lambda 1_E$). Đó là một không gian con vectơ đóng khác không của E; nó ổn định dưới A, vì $u$ giao hoán với các phần tử của A. Theo giả thiết (i), ta có F = E, do đó $u=\lambda 1_E$.

Theo giả thiết (ii) của Định lý 3, không gian E khác không. Vì thế nó chứa một không gian con vectơ F có chiều bằng 1. Không gian con này là đóng vì E được giả thiết là phân ly. Theo Định lý 3, mọi phần tử của A đều là một phép vị tự, và do đó ổn định F. Khi đó từ giả thiết (i) của Định lý 3 suy ra F bằng E.

Thật vậy, Hệ quả 1 cho thấy tập $A =\{u, h\}$ không thể thỏa mãn giả thiết (i) của Định lý 3.

Trường hợp $u= 0$ là ngay lập tức. Trường hợp $u\not = 0$ suy ra từ Hệ quả 2 bằng cách lấy $h=u$.

Tập A các phép chiếu trực giao hạng hữu hạn trong E là đẳng liên tục. Cho $n\geqslant 1$ là một số nguyên và $(x_1, . . . , x_n)$ là một họ các phần tử của E. Gọi V là không gian con vectơ sinh bởi các $x_i$ và $p_V$ là phép chiếu trực giao có ảnh là V. Ta có $p_V(x_i) =x_i$ với $1\leqslant i\leqslant n$. Suy ra rằng $1_E$ thuộc bao đóng của A đối với tôpô hội tụ đơn, và do đó E là một không gian xấp xỉ (nhận xét 3).

Các ví dụ khác về không gian xấp xỉ sẽ được cho trong No.$^o7$ của III, p. 20.

Định nghĩa của tôpô hội tụ tiền compact cho thấy điều kiện là đủ. Ngược lại, giả sử rằng E là một không gian xấp xỉ. Cho P là một bổ sung tôpô trong E của bao đóng của $\{0\}($xem nhận xét 2). Khi đó tập A các $u\in \mathscr{L}^f(E)$ sao cho $u(E)\subset P$ là trù mật trong $\mathscr{L}^f(E)$. Vì P tách biệt, mọi phần tử $u$ của A đều có dạng $x\mapsto \sum^n_{i=1}f_i(x)e_i$, trong đó $n\in \mathbf{N},e_1, . . . , e_n$ là các phần tử của E và $f_1, . . . , f_n$ là các dạng tuyến tính liên tục trên E (EVT, I, p. 14, đl. 2). Điều này chứng minh rằng điều kiện là cần.

a) Tập $\mathscr{L}^f(E; F)$ là trù mật trong $\mathscr{L}_{pc}(E; F)$;

b) Tập $\mathscr{L}^f(F; E)$ là trù mật trong $\mathscr{L}_{pc}(F; E)$;

c) Cho $\mathfrak{S}$ là một tập các tập con bị chặn của F và $u\in \mathscr{L}(F; E)$. Giả sử rằng ảnh dưới $u$ của mọi tập con của F thuộc $\mathfrak{S}$ là tiền compact. Khi đó $u$ thuộc bao đóng của $\mathscr{L}^f(F; E)$ đối với $\mathfrak{S}$-tôpô (EVT, III, p. 13).

Cho $v$ là một phần tử của $\mathscr{L}(E; F)$. Ánh xạ $\varphi :w\mapsto v\circ w$ từ $\mathscr{L}_{pc}(E)$ vào $\mathscr{L}_{pc}(E; F)$ là liên tục (TG, X, p. 5, mệnh đề 3). Ta có $\varphi (1_E) =v$ và $\varphi (\mathscr{L}^f(E))\subset \mathscr{L}^f(E; F)$, do đó $v$ thuộc bao đóng của $\mathscr{L}^f(E; F)$ trong $\mathscr{L}_{pc}(E; F)$. Điều này chứng minh a).

Tương tự, dưới các giả thiết của c), ánh xạ $\psi :w\mapsto w\circ u$ từ $\mathscr{L}_{pc}(E)$ vào $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}}(F; E)$ là liên tục (loc. cit.). Ta có $\psi (1_E) =u$ và $\psi (\mathscr{L}^f(E))\subset \mathscr{L}^f(F; E)$, do đó $u$ thuộc bao đóng của $\mathscr{L}^f(F; E)$ trong $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}}(F; E)$.

Ảnh của một tập con tiền compact của F qua một ánh xạ tuyến tính liên tục từ F vào E là tiền compact, do đó b) suy ra từ c).

Điều này suy ra từ mệnh đề 11, c), vì ảnh của một tập con bị chặn của F qua một ánh xạ tuyến tính compact từ F vào E là tương đối compact trong E (nhận xét 1 của III, p. 2), do đó tiền compact.

Cho A là một tập con tiền compact của E và U một lân cận của 0 trong E. Theo giả thiết tồn tại $i\in I$ và một nửa chuẩn liên tục $p$ trên $F_i$ sao cho U chứa $(p\circ v_i)^{-1}([0,1])$. Đặt $F = F_i,v=v_i$ và $B =v$(A), và giả sử F là một không gian xấp xỉ. Tập hợp B là tiền compact trong F. Do đó tồn tại (bổ đề 2) một số nguyên $n\geqslant 1$, các phần tử $y_1, . . . , y_n$ của F và các dạng tuyến tính liên tục $f_1, . . . , f_n$ trên F, sao cho ta có, với mọi $y\in B$,

$j=1$

Vì B bị chặn (EVT, III, p. 3, mệnh đề 2), tồn tại một số thực $M>0$ sao cho $|f_j(y)|\leqslant M$ với mọi $j$ sao cho $1\leqslant j\leqslant n$ và mọi $y\in B$. Hơn nữa, vì $v(E)$ trù mật trong F, tồn tại, với mỗi số nguyên $j$ sao cho $1\leqslant j\leqslant n$, một phần tử $x_j$ của E sao cho $p(y_j-v(x_j))\leqslant (2nM)^{-1}$. Ánh xạ tuyến tính

thuộc $\mathscr{L}^f(E)$. Với mọi $x\in A$, ta có

do đó $p(v(x-u(x)))\leqslant \frac{1}{2}+\frac{nM}{2nM}= 1$, và vì thế $x-u(x)\in U$. Mệnh đề được chứng minh.

Thật vậy, cho $(E_i)_{i\in I}$ là một họ các không gian xấp xỉ. Với mọi tập con hữu hạn J của I, đặt $E_J=\prod_{i\in J}E_i$ và ký hiệu $v_J$ là ánh xạ chính tắc từ $E =\prod_{i\in I}E_i$ vào $E_J$. Không gian lồi địa phương $E_J$ là một không gian xấp xỉ (Nhận xét 1). Khi đó hệ quả suy ra từ Mệnh đề 12 áp dụng cho không gian lồi địa phương E, cho họ $(E_J)$ các không gian lồi địa phương, và cho các ánh xạ tuyến tính liên tục $v_J: E\rightarrow E_J$.

Cho $\mathscr{P}$ là tập hợp các nửa chuẩn tiền Hilbert liên tục trên E. Với mỗi $p\in \mathscr{P}$, giả thiết suy ra rằng không gian nửa chuẩn $E_p$ thu được bằng cách trang bị cho E nửa chuẩn $p$ là một không gian xấp xỉ (Hệ quả 2 và Mệnh đề 10), và ánh xạ đồng nhất từ E vào $E_p$ là liên tục. Vì thế hệ quả suy ra từ Mệnh đề 12.

Vì E là khả mêtric, tồn tại một hệ cơ bản $(V_m)_{m\in\mathbf{N}}$ các lân cận cân bằng của 0 trong E sao cho $V_0= E$ và $2^{m+1}V_{m+1}\subset V_m$ với mọi $m\geqslant 0$. Vì $(x_n)$ hội tụ về 0, tồn tại một dãy tăng ngặt $(N_m)_{m\in\mathbf{N}}$ các số nguyên sao cho $N_0= 0$ và sao cho, với mọi $m\geqslant 0$, ta có $x_n\in V_m$ khi $n\geqslant N_m$. Với mọi số nguyên $n\geqslant 0$, tồn tại một số nguyên duy nhất $m\geqslant 0$ sao cho $N_m\leqslant n <N_{m+1}$, và khi đó đặt $\lambda_n= 2^{-m}$ và $y_n= 2^mx_n$. Dãy $(\lambda_n)$ được xác định như vậy hội tụ về 0. Hơn nữa, vì $y_n\in V_m$ với $n\geqslant N_{m+1}$, dãy $(y_n)$ hội tụ về 0 trong E. Cuối cùng, ta có $x_n=\lambda_ny_n$ với mọi $n$.

Nhắc lại (EVT, II, p. 28) rằng nếu E là một không gian vectơ và L là một tập con lồi cân bằng của E, thì người ta ký hiệu bởi $E_L$ không gian con vectơ của E sinh bởi L, được trang bị nửa chuẩn có quả cầu đơn vị là L. Khi tập hợp L không chứa đường thẳng nào, nửa chuẩn này là một chuẩn.

Tập A được chứa trong bao lồi cân bằng đóng của tập hợp các điểm của một dãy $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ các phần tử của E hội tụ về 0 (EVT, IV, p. 24, Hệ quả 1). Cho $(y_n)_{n\in\mathbf{N}}$ và $(\lambda_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là các dãy thỏa mãn kết luận của Bổ đề 3. Bao lồi cân bằng đóng L của các điểm của dãy $(y_n)$ chứa A và là một tập con compắc của E (EVT, III, p. 8). Do đó $E_L$ là một không gian Banach (EVT, III, p. 8, Hệ quả). Trong không gian Banach này, chuẩn của $x_n$ bị chặn trên bởi $\lambda_n$, vì vậy dãy $(x_n)$ tiến tới 0. Bao lồi cân bằng đóng $\widetilde{A}$ của dãy $(x_n)$ trong $E_L$ là một tập con compắc của $E_L$ (EVT, III, p. 8). Vì L là một tập con bị chặn của E, đơn ánh chính tắc từ $E_L$ vào E là liên tục. Các tôpô cảm sinh trên $\widetilde{A}$ bởi các tôpô của $E_L$ và của E là trùng nhau, và $\widetilde{A}$ là một tập con compắc, do đó đóng, của E. Vì tập hợp $\widetilde{A}$ là lồi, cân bằng, và chứa dãy $(x_n)$, nó chứa A. Điều này hoàn thành chứng minh.