a) Với mọi $x\in E$, ta có $\lambda x\in E$ và ánh xạ $u:x\mapsto \lambda x$ là một tự đồng cấu liên tục của E, có phổ trong đại số Banach $\mathscr{L}(E)$ bằng bao đóng trong $\mathbf{C}$ của tập các $\lambda_i$, và có chuẩn bằng sup$_i|\lambda_i|$;

b) Tự đồng cấu $u$ là compact nếu và chỉ nếu với mọi số thực $\varepsilon >0$, tập hợp các phần tử $i\in I$ sao cho $|\lambda_i|\geqslant \varepsilon$ là hữu hạn.

Với ký hiệu của mệnh đề, tự đồng cấu $x\mapsto \lambda x$ được gọi là một tự đồng cấu đường chéo của $\ell^p_{\mathbf{C}}(I)$.

Hãy chứng minh mệnh đề. Đặt C = sup$_i|\lambda_i|$. Cho $x\in E$. Ta có các bất đẳng thức

$\sum_{i\in I}|\lambda_ix_i|^p\leqslant C^p\|x\|^p$, nếu $p\not = +\infty$

sup$_{i\in I}|\lambda_ix_i|\leqslant C\|x\|$, nếu $p= +\infty$.

Điều đó chứng tỏ rằng $\lambda x\in E$. Do đó ánh xạ $x\mapsto \lambda x$ là một tự đồng cấu của E, và các bất đẳng thức này chứng tỏ rằng nó có chuẩn $\leqslant C$.

Với $j\in I$, ký hiệu bởi $e_j$ phần tử $(x_i)_{i\in I}$ của $\ell^p_{\mathbf{C}}(I)$ sao cho $x_j= 1$ và $x_i= 0$ nếu $i\not =j$. Khi đó ta có $u(e_j) =\lambda_je_j$ với mọi $j\in I$, điều này cho thấy rằng $\lambda_j$ thuộc phổ của $u$. Vì phổ của $u$ là đóng, bao đóng trong $\mathbf{C}$ của tập các $\lambda_i$ được chứa trong phổ của $u$. Vì phổ của $u$ được chứa trong đĩa tâm 0 và bán kính $\|u\|($I, p. 24, Định lý 1 và công thức (3) của I, p. 21), ta suy ra bất đẳng thức $C\leqslant \|u\|$, do đó $\|u\|= C$.

Đảo lại, nếu $\lambda \in \mathbf{C}$ không là điểm dính của tập các $\lambda_i$, thì họ $((\lambda_i-\lambda )^{-1})_{i\in I}$ bị chặn. Điều đi trước vì vậy cho thấy rằng ánh xạ tuyến tính $x\mapsto ((\lambda -\lambda_i)^{-1}x_i)_{i\in I}$ là một tự đồng cấu của E. Nó là nghịch đảo của $u-\lambda 1_E$, và do đó $\lambda$ không thuộc phổ của $u$. Điều này chứng minh a).

Bây giờ chứng minh b). Giả sử rằng tự đồng cấu $u$ là compact. Cho $\varepsilon >0$. Ký hiệu bởi J tập các $i\in I$ sao cho $|\lambda_i|\geqslant \varepsilon$. Tập các phần tử $e_i$ với $i\in J$ là bị chặn trong E. Ảnh của nó bởi $u$, gồm các phần tử $\lambda_ie_i$ với $i\in J$, vì vậy là tương đối compact trong E (Nhận xét 1 của III, p. 2). Vì $\|\lambda_ie_i-\lambda_je_j\|\geqslant \varepsilon$ với mọi cặp phần tử $i\not =j$ trong J, điều này chỉ có thể xảy ra nếu tập J là hữu hạn.

Ta chứng minh mệnh đề đảo lại. Cho J là một tập con hữu hạn của I và ký hiệu bởi $z_J= (z_{J,i})_{i\in I}$, trong đó $z_{J,i}=\lambda_i$ với $i\in J$ và $z_{J,i}= 0$ với $i\in I$- J ; họ $z_J$ xác định một tự đồng cấu hạng hữu hạn $u_J:x\mapsto z_Jx$ của E. Theo điều đi trước, chuẩn của ánh xạ tuyến tính $u-u_J$ bị chặn trên bởi cận trên trong $\mathbf{R}_+$ của họ $(|\lambda_i|)_{i\in I-J}$. Giả thiết kéo theo rằng với mọi $\varepsilon >0$, tồn tại một tập con hữu hạn $J\subset I$ sao cho cận trên này là $\leqslant \varepsilon$. Suy ra ánh xạ $u$ là điểm dính của $\mathscr{L}^f$(E), và do đó nó là compact (III, p. 4, hệ quả của Mệnh đề 2).

Với mọi $y$ và $y'$ trong Y, ta có

Theo định lý Ascoli (TG, X, p. 18, hệ quả 2), suy ra ảnh qua $\widetilde{k}$ của quả cầu đơn vị của $\mathscr{L}_{\mathbf{C}}^{\infty}(X;\mu)$ là compact tương đối trong $\mathscr{C}(Y)$.

Hãy kiểm tra các điều kiện (i) và (ii) đối với $k$. Với mọi $y\in Y$, ánh xạ $k_y$ liên tục trên không gian compact X, do đó là $\mu$-khả tích. Hơn nữa, ánh xạ $y\mapsto k_y$ là liên tục từ Y vào $\mathscr{C}(X)$ vì X compact (TG, X, p. 28, định lý 3). Vì $\|k_y-k_{y'}\|_1\leqslant \|\mu\| \|k_y-k_{y'}\|$ với mọi $(y, y')\in Y^2$, ánh xạ này từ Y vào $\mathscr{L}_{\mathbf{C}}^1(X, \mu)$ là liên tục. Theo mệnh đề 2, ánh xạ $\widetilde{k}$ từ $\mathscr{L}_{\mathbf{C}}^{\infty}(X, \mu)$ vào $\mathscr{C}(Y)$ là compact. Hợp thành với ánh xạ chính tắc $\mathscr{C}(X)\rightarrow \mathscr{L}_{\mathbf{C}}^{\infty}(X, \mu)$, ta thu được một ánh xạ tuyến tính compact từ $\mathscr{C}(X)$ vào $\mathscr{C}(Y)$.

Ánh xạ $k$ là $(\mu\otimes \nu$)-đo được theo giả thiết. Cho A là một tập con compact của $X\times Y$. Tồn tại các tập con compact $B\subset X$ và $C\subset Y$ sao cho $A\subset B\times C$. Áp dụng (2) cho các hàm đặc trưng $\varphi_B$ của B và $\varphi_C$ của C, ta được

do đó suy ra kết quả (INT, V, p. 41, §5, n$^o1$, Mệnh đề 1 và Định nghĩa 1).

b) Cho $k\in \mathscr{N}^{p,q}(X\times Y)$. Ta có $u_k= 0$ khi và chỉ khi $k$ là không đáng kể địa phương đối với $(\mu\otimes \nu )$;

c) Ánh xạ liên kết $u_k$ với $k$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian nửa chuẩn $\mathscr{N}^{p,q}(X\times Y)$ vào không gian Banach $\mathscr{L}(L^p(X); L^{q'}(Y))$, sao cho $\|u_k\|\leqslant \|k\|_{p,q}$ với mọi $k\in \mathscr{N}^{p,q}(X\times Y)$.

Cho $k\in \mathscr{N}^{p,q}(X\times X)$. Theo định nghĩa, hàm từ $X\times Y$ vào $\mathbf{C}$ được xác định bởi $(x, y)\mapsto k(x, y)f(x)g(y)$ là khả tích đối với $(\mu\otimes \nu$) khi $f\in \mathscr{L}^p(X)$ và $g\in \mathscr{L}^q$(Y), và ánh xạ

là một ánh xạ song tuyến tính liên tục từ $L^p(X)\times L^q(Y)$ vào $\mathbf{C}$. Do đó, với mọi $f\in L^p$(X), tồn tại duy nhất $h\in L^{q'}(Y)$ sao cho $b_k(f, g) =$ $\langle g, h\rangle$ với mọi $g\in L^q(Y)$; ta viết $u_k(f) =h$. Theo (2), ta có $\|u_k(f)\|_{q'}\leqslant \|k\|_{p,q}\|f\|_p$; ánh xạ $u_k$ là tuyến tính và liên tục, có chuẩn $\leqslant \|k\|_{p,q}$. Hơn nữa, ánh xạ $k\mapsto u_k$ là tuyến tính, và các khẳng định a) và c) suy ra từ điều này.

Ta chứng minh b). Giả sử rằng $k$ là địa phương không đáng kể đối với $(\mu\otimes \nu$). Cho $f\in \mathscr{L}^p(X)$ và $g\in \mathscr{L}^q(Y)$; hàm xác định trên $X\times Y$ bởi $(x, y)\mapsto k(x, y)f(x)g(y)$ là vừa phải đối với $(\mu\otimes \nu$). Vì nó là địa phương không đáng kể đối với $(\mu\otimes \nu$), nên nó là không đáng kể (INT, V, p. 7, § 1, No.$^o2$, Hệ quả 1). Do đó, ta có $\langle u_k(f), g\rangle =b_k(f, g) = 0$. Suy ra $u_k= 0$.

Ngược lại, cho $k\in \mathscr{N}^{p,q}(X\times Y)$ sao cho $u_k= 0$. Hàm $k$ là địa phương khả tích đối với $(\mu\otimes \nu$) (Bổ đề 1). Với mọi hàm $f\in \mathscr{K}(X)$ và $g\in \mathscr{K}$ (Y), ta có

do đó độ đo $k\cdot (\mu\otimes \nu )$ trên $X\times Y$ bằng không (xem INT, III, p. 82, § 4, No.$^o1$, Định lý 1). Điều đó có nghĩa là $k$ là địa phương không đáng kể đối với $(\mu\otimes \nu$) (INT, V, p. 46, §5, No.$^o3$, Hệ quả 2).

được xác định địa phương $\nu$-hầu khắp nơi.

Ký hiệu $Y'$ là tập hợp các $y\in Y$ sao cho ánh xạ $x\mapsto k(x, y)f(x)$ không $\mu$-khả tích. Lấy $y\in Y$ và lấy C là một lân cận compact của $y$, có hàm đặc số được ký hiệu bởi $\varphi$. Theo điều kiện (2) áp dụng cho $f$ và $\varphi$, hàm $(x, y)\mapsto k(x, y)f(x)\varphi (y)$ là khả tích trên $X\times Y$ đối với độ đo $\mu\otimes \nu$. Theo định lý Lebesgue-Fubini (INT, V, p. 96, § 8, No.$^o4$, Định lý 1, a)), hàm $x\mapsto k(x, y)f(x)\varphi (y)$ là $\mu$-khả tích với $y$ ở ngoài một tập $\nu$-không đáng kể $Y_C$. Vì $Y'\cap C\subset Y_C$, suy ra $Y'$ là địa phương $\nu$-không đáng kể trong Y (INT, IV, p. 172, § 5, No.$^o2$, Định nghĩa 3).

Ký hiệu $h$ là ánh xạ được xác định địa phương $\nu$-hầu khắp nơi trên Y bởi $y\mapsto \int k(x, y)f(x)d\mu$. Nó địa phương $\nu$-khả tích (INT, V, loc. cit.). Lấy $g\in \mathscr{K}(Y)$. Ta có

(INT, V, loc. cit.). Do đó $u_k(f) =h$ địa phương $\nu$-hầu khắp nơi (x. INT, V, p. 46, § 5, No.$^o3$, Hệ quả 2).

Lấy $k\in \mathscr{L}^{p'}(X\times Y)$. Ánh xạ $k$ là đo được (INT, IV, p. 84, § 5, No.$^o6$, định lý 5). Lấy $f\in \mathscr{L}^p(X)$ và $g\in \mathscr{L}^p(Y)$. Hàm $h: (x, y)\mapsto f(x)g(y)$ thuộc $\mathscr{L}^p(X\times Y)$ và $\|h\|_p=\|f\|_p\|g\|_p$ (INT, V, p. 95, § 8, No.$^o3$, Hệ quả 2). Do đó hàm $hk$ là khả tích trên $X\times Y$ và ta có

theo bất đẳng thức Hölder (INT, IV, p. 208, § 6, No.$^o4$, Định lý 2), điều này chứng minh rằng $k\in \mathscr{N}^{p,p}(X\times Y)$ với $\|k\|_{p,p}\leqslant \|k\|_{p'}$.

Vì $p'\not = +\infty$, mọi hàm $k\in \mathscr{L}^{p'}(X\times Y)$ đều ôn hòa (INT, V, p. 9, § 1, No.$^o3$, Hệ quả), và khẳng định cuối cùng khi đó suy ra từ Mệnh đề 3, b) và c).

Với mọi hàm $k: X\times Y\rightarrow \mathbf{C}$ và mọi $y\in Y$, ta ký hiệu bởi $k_y$ ánh xạ từ X vào $\mathbf{C}$ được xác định bởi $k_y(x) =k(x, y)$, và ta ký hiệu bởi $k_{\circ}$ ánh xạ từ Y vào $\mathscr{F}(X;\mathbf{C})$ được xác định bởi $y\mapsto k_y$. Tương tự, ta cũng sẽ ký hiệu bởi cùng một ký hiệu ánh xạ từ Y vào không gian các hàm được xác định $\mu$-hầu khắp nơi trên X mà gán cho $y$ lớp của $k_y$.

Với mọi hàm $k$ từ $X\times Y$ vào $\mathbf{C}$, ta đặt

Đó là một phần tử của $[0,+\infty ]$.

Cho $k\in \mathscr{L}^{p'}(X\times Y)$. Theo INT, V, p. 96, § 8, No.$^o4$, Định lý 1, a), tập hợp $Y'$ gồm các phần tử $y\in Y$ sao cho hàm $|k_y|^{p'}$ không $\mu$-khả tích là $\nu$-không đáng kể; hơn nữa, hàm được xác định bởi $y\mapsto \mu(|k_y|^{p'})$ trên Y - $Y'$ và bằng không trên $Y'$ là $\nu$-khả tích và thỏa mãn

Ta ký hiệu bởi $\mathscr{L}^{p',q'}(X,Y, \mu, \nu )$, hoặc đơn giản bởi $\mathscr{L}^{p',q'}(X,Y)$, không gian vectơ phức của các hàm $k$ từ $X\times Y$ vào $\mathbf{C}$, đo được đối với $(\mu\otimes \nu$), sao cho, với $\nu$-hầu mọi $y\in Y$, ánh xạ $k_y$ thuộc $\mathscr{L}^{p'}$(X), và sao cho ánh xạ $k_{\circ}$ thuộc $\mathscr{L}_{L^{p'}(X)}^{q'}(Y, \nu )$ (INT, IV, p. 129, § 3, No.$^o4$, Định nghĩa 2). Ta trang bị cho $\mathscr{L}^{p',q'}(X,Y)$ nửa chuẩn $k\mapsto N_{p',q'}(k)$; chú ý rằng khi đó ta có $N_{p',q'}(k) =\|k_{\circ}\|_{q'}$, trong đó $k_{\circ}$ được xem như một ánh xạ nhận giá trị trong không gian Banach $L^{p'}(X)$.

b) Không gian $\mathscr{L}^{p',q'}(X,Y)$ được chứa trong $\mathscr{N}^{p,q}(X\times Y)$ và với $k\in \mathscr{L}^{p',q'}(X,Y)$, ta có $\|k\|_{p,q}\leqslant N_{p',q'}(k)$.

Ta chứng minh mệnh đề a). Cho $k\in \mathscr{L}^{p'}(X\times Y)$. Theo INT, V, p. 96, § 8, n$^o4$, th. 1, a), hàm $k_y$ thuộc $\mathscr{L}^{p'}(X)$ với $\nu$-hầu khắp mọi $y\in Y$.

Cho $\varepsilon >0$. Tồn tại $h\in \mathscr{K}(X\times Y)$ sao cho $\|k-h\|_{p'}< \varepsilon$. Hàm $h_{\circ}$ là một hàm liên tục có giá compact từ Y vào $L^{p'}(X)$ thỏa mãn

theo Bổ đề 2. Suy ra $k_{\circ}$ thuộc $\mathscr{L}_{L^{p'}(X)}^{p'}(Y, \nu )$, nghĩa là $k$ thuộc $\mathscr{L}^{p',p}(X,Y)$. Khi đó Bổ đề 2 chứng minh rằng $N_{p', p'}(k) =\|k\|_{p'}$.

Ta chứng minh mệnh đề b). Cho $k\in \mathscr{L}^{p',q'}(X,Y)$ và cho $f\in \mathscr{L}^p(X)$. Với mọi $y\in Y$, bất đẳng thức Hölder (INT, IV, p. 208, § 6, n$^o4$, th. 2) áp dụng cho $k_y$ suy ra

Cho $g\in \mathscr{L}^{q'}(Y)$. Các ánh xạ $f$ và $g$ là vừa phải, vì $p$ và $q'$ là hữu hạn. Do đó, ánh xạ $(x, y)\mapsto f(x)g(y)$ là vừa phải đối với $(\mu\otimes \nu )$ (xem INT, V, p. 92, § 8, n$^o3$, cor. 2), và vì thế ánh xạ $(x, y)\mapsto k(x, y)f(x)g(y)$ là vừa phải đối với $(\mu\otimes \nu$). Theo INT, V, p. 93, § 8, n$^o3$, prop. 7, a), suy ra rằng

lại dùng bất đẳng thức Hölder. Điều này kết thúc chứng minh.

Trước hết giả sử rằng $k$ sao cho $k_{\circ}\in \mathscr{K}(Y;\mathscr{L}^{p'}$(X)), và ký hiệu A là giá của $k_{\circ}$. Gọi F là không gian con của $\mathscr{K}(Y,A;\mathscr{L}^{p'}(X, \mu))$ được sinh bởi các hàm $y\mapsto f_2(y)f_1$, trong đó $f_2\in \mathscr{K}(Y,A)$ và $f_1\in \mathscr{L}^{p'}(X)$. Khi $m\in \mathscr{K}(Y;\mathscr{L}^{p'}(X))$ thỏa mãn $m_{\circ}\in F$, ánh xạ tuyến tính $u_m$ có hạng hữu hạn, do đó compact. Hơn nữa, với $m_1$ và $m_2$ trong $\mathscr{K}(Y,A;\mathscr{L}^{p'}$(X)), ta có

$\int'1/q'$

$\leqslant \nu (A)^{1/q'}$ sup$_{y\in Y}N_{p'}(m_{1,y}-m_{2,y})$.

Vì không gian F là trù mật trong $\mathscr{K}(Y,A; L^{p'}(X))$ đối với tôpô hội tụ đều trên A (INT, III, p. 41, § 1, n$^o1$, mệnh đề 1 và INT, III, p. 46, § 1, n$^o2$, mệnh đề 5), suy ra ánh xạ tuyến tính $u_k$ là giới hạn của một dãy các ánh xạ tuyến tính hạng hữu hạn. Do đó nó là compact (hệ quả 1 của III, p. 4).

Xét trường hợp tổng quát. Cho $k\in \mathscr{L}^{p',q'}(X,Y)$. Với mọi $\varepsilon >0$, tồn tại một ánh xạ $k_{\varepsilon ,\circ}\in \mathscr{K}(Y;\mathscr{L}^{p'}(X))$ sao cho

Khi đó hàm tương ứng $k_{\varepsilon}: X\times Y\rightarrow \mathbf{C}$ thỏa mãn

Vì $u_{k_{\varepsilon}}$ là compact theo điều đã đi trước, ánh xạ $u_k$ cũng vậy là compact (mệnh đề 2 của III, p. 4).

Đặt $p= 1$ và giả sử $q >1$. Có thể tồn tại các ánh xạ $k: X\times Y\rightarrow \mathbf{C}$ sao cho $k_y\in \mathscr{L}^{\infty}(X)$ với mọi $y\in Y$, và sao cho tích phân

là hữu hạn (đặc biệt, điều kiện (2) của III, p. 27 được thỏa mãn), nhưng sao cho ánh xạ tuyến tính $u_k$ từ $L^1(X)$ vào $L^{q'}(X)$ không compact (bài tập 2 của III, p. 119).

Đặc biệt, từ mệnh đề ta suy ra hệ quả sau: