a) Pour tout $x\in E$, on a $\lambda x\in E$ et l’application $u:x\mapsto \lambda x$ est un endomorphisme continu de E, dont le spectre dans l’algèbre de Banach $\mathscr{L}(E)$ est égal à l’adhérence dans $\mathbf{C}$ de l’ensemble des $\lambda_i$, et dont la norme est égale à sup$_i|\lambda_i|$;

b) L’endomorphisme $u$ est compact si et seulement si pour tout nombre réel $\varepsilon >0$, l’ensemble des éléments $i\in I$ tels que $|\lambda_i|\geqslant \varepsilon$ est fini.

Avec les notations de la proposition, l’endomorphisme $x\mapsto \lambda x$ est appelé un endomorphisme diagonal de $\ell^p_{\mathbf{C}}(I)$.

Démontrons la proposition. Soit C = sup$_i|\lambda_i|$. Soit $x\in E$. On a les inégalités

$\sum_{i\in I}|\lambda_ix_i|^p\leqslant C^p\|x\|^p$, si $p\not = +\infty$

sup$_{i\in I}|\lambda_ix_i|\leqslant C\|x\|$, si $p= +\infty$.

Cela prouve que $\lambda x\in E$. L’application $x\mapsto \lambda x$ est donc un endomorphisme de E, et ces inégalités prouvent qu’il est de norme $\leqslant C$.

Pour $j\in I$, notons $e_j$ l’élément $(x_i)_{i\in I}$ de $\ell^p_{\mathbf{C}}(I)$ tel que $x_j= 1$ et $x_i= 0$ si $i\not =j$. On a alors $u(e_j) =\lambda_je_j$ pour tout $j\in I$, ce qui montre que $\lambda_j$ appartient au spectre de $u$. Comme le spectre de $u$ est fermé, l’adhérence dans $\mathbf{C}$ de l’ensemble des $\lambda_i$ est inclus dans le spectre de $u$. Puisque le spectre de $u$ est contenu dans le disque centré en 0 et de rayon $\|u\|($I, p. 24, th. 1 et formule (3) de I, p. 21), on en déduit l’inégalité $C\leqslant \|u\|$, d’où $\|u\|= C$.

Réciproquement, si $\lambda \in \mathbf{C}$ n’est pas adhérent à l’ensemble des $\lambda_i$, alors la famille $((\lambda_i-\lambda )^{-1})_{i\in I}$ est bornée. Ce qui précède montre donc que l’application linéaire $x\mapsto ((\lambda -\lambda_i)^{-1}x_i)_{i\in I}$ est un endomorphisme de E. Il est inverse de $u-\lambda 1_E$, et donc $\lambda$ n’appartient pas au spectre de $u$. Cela démontre a).

Démontrons maintenant b). Supposons que l’endomorphisme $u$ est compact. Soit $\varepsilon >0$. Notons J l’ensemble des $i\in I$ tels que $|\lambda_i|\geqslant \varepsilon$. L’ensemble des éléments $e_i$ pour $i\in J$ est borné dans E. Son image par $u$, formée des éléments $\lambda_ie_i$ pour $i\in J$, est donc relativement compacte dans E (remarque 1 de III, p. 2). Comme $\|\lambda_ie_i-\lambda_je_j\|\geqslant \varepsilon$ pour tout couple d’éléments $i\not =j$ dans J, cela n’est possible que si l’ensemble J est fini.

Démontrons l’assertion réciproque. Soit J une partie finie de I et notons $z_J= (z_{J,i})_{i\in I}$, où $z_{J,i}=\lambda_i$ pour $i\in J$ et $z_{J,i}= 0$ pour $i\in I$- J ; la famille $z_J$ définit un endomorphisme de rang fini $u_J:x\mapsto z_Jx$ de E. D’après ce qui précède, la norme de l’application linéaire $u-u_J$ est majorée par la borne supérieure dans $\mathbf{R}_+$ de la famille $(|\lambda_i|)_{i\in I-J}$. L’hypothèse implique que pour tout $\varepsilon >0$, il existe une partie finie $J\subset I$ telle que cette borne supérieure soit $\leqslant \varepsilon$. Il en résulte que l’application $u$ est adhérente à $\mathscr{L}^f$(E), et donc qu’elle est compacte (III, p. 4, cor. de la prop. 2).

Quels que soient $y$ et $y'$ dans Y, on a

D’après le théorème d’Ascoli (TG, X, p. 18, cor. 2), il en résulte que l’image par $\widetilde{k}$ de la boule unité de $\mathscr{L}_{\mathbf{C}}^{\infty}(X;\mu)$ est relativement compacte dans $\mathscr{C}(Y)$.

Vérifions les conditions (i) et (ii) pour $k$. Pour tout $y\in Y$, l’application $k_y$ est continue sur l’espace compact X, donc $\mu$-intégrable. De plus, l’application $y\mapsto k_y$ est continue de Y dans $\mathscr{C}(X)$ puisque X est compact (TG, X, p. 28, th. 3). Comme $\|k_y-k_{y'}\|_1\leqslant \|\mu\| \|k_y-k_{y'}\|$ pour tout $(y, y')\in Y^2$, cette application de Y dans $\mathscr{L}_{\mathbf{C}}^1(X, \mu)$ est continue. D’après la prop. 2, l’application $\widetilde{k}$ de $\mathscr{L}_{\mathbf{C}}^{\infty}(X, \mu)$ dans $\mathscr{C}(Y)$ est compacte. Par composition avec l’application canonique $\mathscr{C}(X)\rightarrow \mathscr{L}_{\mathbf{C}}^{\infty}(X, \mu)$, on obtient une application linéaire compacte de $\mathscr{C}(X)$ dans $\mathscr{C}(Y)$.

L’application $k$ est $(\mu\otimes \nu$)-mesurable par hypothèse. Soit A une partie compacte de $X\times Y$. Il existe des parties compactes $B\subset X$ et $C\subset Y$ telles que $A\subset B\times C$. En appliquant (2) aux fonctions caractéristiques $\varphi_B$ de B et $\varphi_C$ de C, on obtient

d’où le résultat (INT, V, p. 41, §5, n$^o1$, prop. 1 et déf. 1).

b) Soit $k\in \mathscr{N}^{p,q}(X\times Y)$. On a $u_k= 0$ si et seulement si $k$ est localement $(\mu\otimes \nu )$-négligeable ;

c) L’application qui à $k$ associe $u_k$ est une application linéaire continue de l’espace semi-normé $\mathscr{N}^{p,q}(X\times Y)$ dans l’espace de Banach $\mathscr{L}(L^p(X); L^{q'}(Y))$, telle que $\|u_k\|\leqslant \|k\|_{p,q}$ pour tout $k\in \mathscr{N}^{p,q}(X\times Y)$.

Soit $k\in \mathscr{N}^{p,q}(X\times X)$. Par définition, la fonction de $X\times Y$ dans $\mathbf{C}$ définie par $(x, y)\mapsto k(x, y)f(x)g(y)$ est $(\mu\otimes \nu$)-intégrable lorsque $f\in \mathscr{L}^p(X)$ et $g\in \mathscr{L}^q$(Y), et l’application

est une application bilinéaire continue de $L^p(X)\times L^q(Y)$ dans $\mathbf{C}$. Pour tout $f\in L^p$(X), il existe donc un unique $h\in L^{q'}(Y)$ tel que $b_k(f, g) =$ $\langle g, h\rangle$ pour tout $g\in L^q(Y)$; notons $u_k(f) =h$. D’après (2), on a $\|u_k(f)\|_{q'}\leqslant \|k\|_{p,q}\|f\|_p$; l’application $u_k$ est linéaire et continue de norme $\leqslant \|k\|_{p,q}$. De plus, l’application $k\mapsto u_k$ est linéaire, et les assertions a) et c) en découlent.

Démontrons b). Supposons que $k$ est localement $(\mu\otimes \nu$)-négligeable. Soient $f\in \mathscr{L}^p(X)$ et $g\in \mathscr{L}^q(Y)$; la fonction définie sur $X\times Y$ par $(x, y)\mapsto k(x, y)f(x)g(y)$ est $(\mu\otimes \nu$)-modérée. Comme elle est localement $(\mu\otimes \nu$)-négligeable, elle est négligeable (INT, V, p. 7, § 1, n$^o2$, cor. 1). Ainsi, on a $\langle u_k(f), g\rangle =b_k(f, g) = 0$. Il en résulte que $u_k= 0$.

Réciproquement, soit $k\in \mathscr{N}^{p,q}(X\times Y)$ tel que $u_k= 0$. La fonction $k$ est localement $(\mu\otimes \nu$)-intégrable (lemme 1). Pour toutes fonctions $f\in \mathscr{K}(X)$ et $g\in \mathscr{K}$ (Y), on a

donc la mesure $k\cdot (\mu\otimes \nu )$ sur $X\times Y$ est nulle (cf. INT, III, p. 82, § 4, n$^o1$, th. 1). Cela signifie que $k$ est localement $(\mu\otimes \nu$)-négligeable (INT, V, p. 46, §5, n$^o3$, cor. 2).

Notons $Y'$ l’ensemble des $y\in Y$ tels que l’application $x\mapsto k(x, y)f(x)$ n’est pas $\mu$-intégrable. Soit $y\in Y$ et soit C un voisinage compact de $y$, dont on note $\varphi$ la fonction caractéristique. D’après la condition (2) appliquée à $f$ et $\varphi$, la fonction $(x, y)\mapsto k(x, y)f(x)\varphi (y)$ est intégrable sur $X\times Y$ par rapport à la mesure $\mu\otimes \nu$. D’après le théorème de Lebesgue–Fubini (INT, V, p. 96, § 8, n$^o4$, th. 1, a)), la fonction $x\mapsto k(x, y)f(x)\varphi (y)$ est $\mu$-intégrable pour $y$ en dehors d’un ensemble $\nu$-négligeable $Y_C$. Comme $Y'\cap C\subset Y_C$, on en déduit que $Y'$ est localement $\nu$-négligeable dans Y (INT, IV, p. 172, § 5, n$^o2$, déf. 3).

Notons $h$ l’application définie localement $\nu$-presque partout sur Y par $y\mapsto \int k(x, y)f(x)d\mu$. Elle est localement $\nu$-intégrable (INT, V, loc. cit.). Soit $g\in \mathscr{K}(Y)$. On a

(INT, V, loc. cit.). On a donc $u_k(f) =h$ localement $\nu$-presque partout (cf. INT, V, p. 46, § 5, n$^o3$, cor. 2).

Soit $k\in \mathscr{L}^{p'}(X\times Y)$. L’application $k$ est mesurable (INT, IV, p. 84, § 5, n$^o6$, th. 5). Soient $f\in \mathscr{L}^p(X)$ et $g\in \mathscr{L}^p(Y)$. La fonction $h: (x, y)\mapsto f(x)g(y)$ appartient à $\mathscr{L}^p(X\times Y)$ et $\|h\|_p=\|f\|_p\|g\|_p$ (INT, V, p. 95, § 8, n$^o3$, cor. 2). La fonction $hk$ est donc intégrable sur $X\times Y$ et on a

d’après l’inégalité de Hölder (INT, IV, p. 208, § 6, n$^o4$, th. 2) ce qui démontre que $k\in \mathscr{N}^{p,p}(X\times Y)$ avec $\|k\|_{p,p}\leqslant \|k\|_{p'}$.

Puisque $p'\not = +\infty$, toute fonction $k\in \mathscr{L}^{p'}(X\times Y)$ est modérée (INT, V, p. 9, § 1, n$^o3$, cor.), et la dernière assertion résulte alors de la prop. 3, b) et c).

Pour toute fonction $k: X\times Y\rightarrow \mathbf{C}$ et pour tout $y\in Y$, on note $k_y$ l’application de X dans $\mathbf{C}$ donnée par $k_y(x) =k(x, y)$, et on note $k_{\circ}$ l’application de Y dans $\mathscr{F}(X;\mathbf{C})$ définie par $y\mapsto k_y$. On notera de même l’application de Y dans l’espace des fonctions définies $\mu$-presque partout sur X qui à $y$ associe la classe de $k_y$.

Pour toute fonction $k$ de $X\times Y$ dans $\mathbf{C}$, on note

C’est un élément de $[0,+\infty ]$.

Soit $k\in \mathscr{L}^{p'}(X\times Y)$. D’après INT, V, p. 96, § 8, n$^o4$, th. 1, a), l’ensemble $Y'$ des éléments $y\in Y$ tels que la fonction $|k_y|^{p'}$ ne soit pas $\mu$-intégrable est $\nu$-négligeable ; de plus, la fonction définie par $y\mapsto \mu(|k_y|^{p'})$ sur Y - $Y'$ et nulle sur $Y'$ est $\nu$-intégrable et vérifie

On note $\mathscr{L}^{p',q'}(X,Y, \mu, \nu )$, ou simplement $\mathscr{L}^{p',q'}(X,Y)$, l’espace vectoriel complexe des fonctions $(\mu\otimes \nu$)-mesurables $k$ de $X\times Y$ dans $\mathbf{C}$ telles que, pour $\nu$-presque tout $y\in Y$, l’application $k_y$ appartient à $\mathscr{L}^{p'}$(X), et telles que l’application $k_{\circ}$ appartient à $\mathscr{L}_{L^{p'}(X)}^{q'}(Y, \nu )$ (INT, IV, p. 129, § 3, n$^o4$, déf. 2). On munit $\mathscr{L}^{p',q'}(X,Y)$ de la semi-norme $k\mapsto N_{p',q'}(k)$; notons que celle-ci vérifie alors $N_{p',q'}(k) =\|k_{\circ}\|_{q'}$, où $k_{\circ}$ est vue comme application à valeurs dans l’espace de Banach $L^{p'}(X)$.

b) L’espace $\mathscr{L}^{p',q'}(X,Y)$ est contenu dans $\mathscr{N}^{p,q}(X\times Y)$ et pour $k\in \mathscr{L}^{p',q'}(X,Y)$, on a $\|k\|_{p,q}\leqslant N_{p',q'}(k)$.

Démontrons l’assertion a). Soit $k\in \mathscr{L}^{p'}(X\times Y)$. D’après INT, V, p. 96, § 8, n$^o4$, th. 1, a), la fonction $k_y$ appartient à $\mathscr{L}^{p'}(X)$ pour $\nu$-presque tout $y\in Y$.

Soit $\varepsilon >0$. Il existe $h\in \mathscr{K}(X\times Y)$ telle que $\|k-h\|_{p'}< \varepsilon$. La fonction $h_{\circ}$ est une fonction continue à support compact de Y dans $L^{p'}(X)$ qui vérifie

d’après le lemme 2. Il en résulte que $k_{\circ}$ appartient à $\mathscr{L}_{L^{p'}(X)}^{p'}(Y, \nu )$, c’est-à-dire que $k$ appartient à $\mathscr{L}^{p',p}(X,Y)$. Le lemme 2 démontre alors que $N_{p', p'}(k) =\|k\|_{p'}$.

Démontrons l’assertion b). Soit $k\in \mathscr{L}^{p',q'}(X,Y)$ et soit $f\in \mathscr{L}^p(X)$. Pour tout $y\in Y$, l’inégalité de Hölder (INT, IV, p. 208, § 6, n$^o4$, th. 2) appliquée à $k_y$ implique

Soit $g\in \mathscr{L}^{q'}(Y)$. Les applications $f$ et $g$ sont modérées, puisque $p$ et $q'$ sont finis. Par conséquent, l’application $(x, y)\mapsto f(x)g(y)$ est $(\mu\otimes \nu )$-modérée (cf. INT, V, p. 92, § 8, n$^o3$, cor. 2), et donc l’application $(x, y)\mapsto k(x, y)f(x)g(y)$ est $(\mu\otimes \nu$)-modérée. D’après INT, V, p. 93, § 8, n$^o3$, prop. 7, a), il vient alors

en utilisant de nouveau l’inégalité de Hölder. Cela conclut la démonstration.

Supposons d’abord que $k$ est tel que $k_{\circ}\in \mathscr{K}(Y;\mathscr{L}^{p'}$(X)), et notons A le support de $k_{\circ}$. Soit F le sous-espace de $\mathscr{K}(Y,A;\mathscr{L}^{p'}(X, \mu))$ engendré par les fonctions $y\mapsto f_2(y)f_1$, où $f_2\in \mathscr{K}(Y,A)$ et $f_1\in \mathscr{L}^{p'}(X)$. Lorsque $m\in \mathscr{K}(Y;\mathscr{L}^{p'}(X))$ vérifie $m_{\circ}\in F$, l’application linéaire $u_m$ est de rang fini, donc compacte. Pour $m_1$ et $m_2$ dans $\mathscr{K}(Y,A;\mathscr{L}^{p'}$(X)), on a de plus

$\int'1/q'$

$\leqslant \nu (A)^{1/q'}$ sup$_{y\in Y}N_{p'}(m_{1,y}-m_{2,y})$.

Comme l’espace F est dense dans $\mathscr{K}(Y,A; L^{p'}(X))$ pour la topologie de la convergence uniforme dans A (INT, III, p. 41, § 1, n$^o1$, prop. 1 et INT, III, p. 46, § 1, n$^o2$, prop. 5), on conclut que l’application linéaire $u_k$ est limite d’une suite d’applications linéaires de rang fini. Elle est donc compacte (cor. 1 de III, p. 4).

Considérons le cas général. Soit $k\in \mathscr{L}^{p',q'}(X,Y)$. Pour tout $\varepsilon >0$, il existe une application $k_{\varepsilon ,\circ}\in \mathscr{K}(Y;\mathscr{L}^{p'}(X))$ telle que

La fonction $k_{\varepsilon}: X\times Y\rightarrow \mathbf{C}$ correspondante vérifie alors

Puisque $u_{k_{\varepsilon}}$ est compacte d’après ce qui précède, l’application $u_k$ est également compacte (prop. 2 de III, p. 4).

Posons $p= 1$ et supposons $q >1$. Il peut exister des applications $k: X\times Y\rightarrow \mathbf{C}$ telles que $k_y\in \mathscr{L}^{\infty}(X)$ pour tout $y\in Y$, et telles que l’intégrale

soit finie (en particulier, la condition (2) de III, p. 27 est valide), mais telles que l’application linéaire $u_k$ de $L^1(X)$ dans $L^{q'}(X)$ ne soit pas compacte (exercice 2 de III, p. 119).

En particulier, on déduit de la proposition le corollaire suivant :