Exercice 10, § 1

Soient $p$ et $r$ des nombres réels tels que $1\leqslant p < r$. Soit $u$ une application linéaire continue de $\ell^r_K(\mathbf{N})$ dans $\ell^p_K(\mathbf{N})$.

On note $r_n$ (resp. $p_n$) la projection

sur $\ell^r_K(\mathbf{N})$ (resp. sur $\ell^p_K(\mathbf{N})$). On note $\|\cdot \|_p$ (resp. $\|\cdot \|_r$) la norme sur $\ell^p_K(\mathbf{N})$ (resp. sur $\ell^r_K(\mathbf{N})$).

a) Montrer que pour tout $n\in \mathbf{N}$, on a $\|p_nu(1-r_m)\| \rightarrow 0$ quand $m\rightarrow +\infty$, où 1 désigne le morphisme identique de $\ell^r_K(\mathbf{N})$.

b) Pour $n,m\in \mathbf{N}$, soit $u_{n,m}= (1-p_n)u(1-r_m)$. Soit $\alpha = (\alpha_n)_{n\in\mathbf{N}}$ une suite de nombres réels strictement positifs telle que $\|\alpha \|_r= 1$ et $\alpha$ n’appartient pas à $\ell^p_K(\mathbf{N})$, et soit $(\varepsilon_n)$ une suite de nombres réels strictement positifs telle que la série $\sum\varepsilon_n\alpha_n$ converge.

Si $u$ n’est pas compacte, montrer qu’il existe $\delta >0$, des suites strictement croissantes d’entiers $(n_i)_{i\in\mathbf{N}}$ et $(m_i)_{i\in\mathbf{N}}$ et deux suites $(x_i)_{i\in\mathbf{N}}$ d’éléments de $\ell^r_K(\mathbf{N})$ et $(y_i)_{i\in\mathbf{N}}$ d’éléments de $\ell^p_K(\mathbf{N})$, avec les propriétés suivantes :

(i) On a $\|x_i\|_r= 1$ pour tout $i\in \mathbf{N}$;

(ii) Les ensembles $S_i=\{n\in \mathbf{N}|x_{i,n}\not = 0\}$ sont deux à deux disjoints et les ensembles $T_i=\{n\in \mathbf{N}|y_{i,n}\not = 0\}$ sont deux à deux disjoints ;

(iii) On a $\|y_i\|_p\geqslant \delta$;

(iv) On a $\|u(x_i)\|_q> \delta -2\varepsilon_i$.

(Procéder par récurrence et utiliser les formules

pour $n$ et $m$ dans $\mathbf{N}.)$

c) En déduire par contradiction que $u$ est compacte (« théorème de Pitt »). d) Montrer que l’injection canonique de $\ell^p_K(\mathbf{N})$ dans $\ell^r_K(\mathbf{N})$ n’est pas compacte.

e) Soient $p$ et $r$ des nombres réels tels que $1\leqslant p\leqslant r\leqslant +\infty$. Montrer que $\ell^r_K(\mathbf{N})$ est isomorphe à $\ell^p_K(\mathbf{N})$ si et seulement si $p=r$.