Bài tập 10, § 1

Cho $p$ và $r$ là các số thực sao cho $1\leqslant p < r$. Cho $u$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ $\ell^r_K(\mathbf{N})$ vào $\ell^p_K(\mathbf{N})$.

Ta ký hiệu bởi $r_n$ (tương ứng $p_n$) phép chiếu

lên $\ell^r_K(\mathbf{N})$ (tương ứng lên $\ell^p_K(\mathbf{N})$). Ta ký hiệu bởi $\|\cdot \|_p$ (tương ứng $\|\cdot \|_r$) chuẩn trên $\ell^p_K(\mathbf{N})$ (tương ứng trên $\ell^r_K(\mathbf{N})$).

a) Chứng minh rằng với mọi $n\in \mathbf{N}$, ta có $\|p_nu(1-r_m)\| \rightarrow 0$ khi $m\rightarrow +\infty$, trong đó 1 ký hiệu cấu xạ đồng nhất của $\ell^r_K(\mathbf{N})$.

b) Với $n,m\in \mathbf{N}$, đặt $u_{n,m}= (1-p_n)u(1-r_m)$. Cho $\alpha = (\alpha_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là một dãy các số thực dương ngặt sao cho $\|\alpha \|_r= 1$ và $\alpha$ không thuộc $\ell^p_K(\mathbf{N})$, và cho $(\varepsilon_n)$ là một dãy các số thực dương ngặt sao cho chuỗi $\sum\varepsilon_n\alpha_n$ hội tụ.

Nếu $u$ không compact, chứng minh rằng tồn tại $\delta >0$, các dãy số nguyên tăng ngặt $(n_i)_{i\in\mathbf{N}}$ và $(m_i)_{i\in\mathbf{N}}$ và hai dãy $(x_i)_{i\in\mathbf{N}}$ gồm các phần tử của $\ell^r_K(\mathbf{N})$ và $(y_i)_{i\in\mathbf{N}}$ gồm các phần tử của $\ell^p_K(\mathbf{N})$, với các tính chất sau:

(i) Có $\|x_i\|_r= 1$ với mọi $i\in \mathbf{N}$;

(ii) Các tập hợp $S_i=\{n\in \mathbf{N}|x_{i,n}\not = 0\}$ là từng đôi một rời nhau và các tập hợp $T_i=\{n\in \mathbf{N}|y_{i,n}\not = 0\}$ là từng đôi một rời nhau;

(iii) Có $\|y_i\|_p\geqslant \delta$;

(iv) Có $\|u(x_i)\|_q> \delta -2\varepsilon_i$.

(Tiến hành bằng quy nạp và sử dụng các công thức

với $n$ và $m$ trong $\mathbf{N}$.)

c) Suy ra bằng phản chứng rằng $u$ là compact («định lý Pitt»). d) Chứng minh rằng đơn ánh chính tắc của $\ell^p_K(\mathbf{N})$ vào $\ell^r_K(\mathbf{N})$ không compact.

e) Cho $p$ và $r$ là các số thực sao cho $1\leqslant p\leqslant r\leqslant +\infty$. Chứng minh rằng $\ell^r_K(\mathbf{N})$ đẳng cấu với $\ell^p_K(\mathbf{N})$ khi và chỉ khi $p=r$.