Exercice 11, § 1

Soient E et F des espaces de Banach sur K. On dit qu’une application linéaire $u\in \mathscr{L}(E; F)$ est complètement continue si, pour toute suite $(x_n)_{n\in N}$ dans E, faiblement convergente, la suite $(u(x_n))_{n\in\mathbf{N}}$ converge dans F.

a) Toute application linéaire compacte est complètement continue.

b) Si l’espace $E'$ dual de E est de type dénombrable alors toute application linéaire complètement continue $E\rightarrow F$ est compacte.

c) Soit $(u_n)_{n\in\mathbf{N}}$ une suite d’éléments de $\ell^1_K(\mathbf{N})$. Montrer que $(u_n)$ converge si et seulement si elle converge faiblement (« théorème de Schur » ; cf. EVT, IV, p. 54, exercice 15).

d) En déduire que l’injection de $\ell^1_K(\mathbf{N})$ dans $\ell^2_K(\mathbf{N})$ est complètement continue mais n’est pas compacte. e) Pour tout espace de Banach, toute application linéaire continue $E\rightarrow \ell^1_K(\mathbf{N})$ est complètement continue, et toute application linéaire continue $\ell^1_K(\mathbf{N})\rightarrow E$ est complètement continue.

f ) Si E est réflexif ou si son dual est de type dénombrable, toute application linéaire continue $E\rightarrow \ell^1_K(\mathbf{N})$ est compacte.