Bài tập 11, § 1

Cho $E$ và $F$ là các không gian Banach trên K. Một ánh xạ tuyến tính $u\in \mathscr{L}(E; F)$ được gọi là hoàn toàn liên tục nếu, với mọi dãy $(x_n)_{n\in N}$ trong E, hội tụ yếu, dãy $(u(x_n))_{n\in\mathbf{N}}$ hội tụ trong F.

a) Mọi ánh xạ tuyến tính compact đều hoàn toàn liên tục.

b) Nếu không gian đối ngẫu $E'$ của E là kiểu đếm được thì mọi ánh xạ tuyến tính hoàn toàn liên tục $E\rightarrow F$ đều là compact.

c) Cho $(u_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là một dãy các phần tử của $\ell^1_K(\mathbf{N})$. Bây giờ chứng minh rằng $(u_n)$ hội tụ khi và chỉ khi nó hội tụ yếu (« định lý Schur »; cf. EVT, IV, p. 54, bài tập 15).

d) Suy ra rằng đơn ánh của $\ell^1_K(\mathbf{N})$ vào $\ell^2_K(\mathbf{N})$ là hoàn toàn liên tục nhưng không compact.

e) Với mọi không gian Banach, mọi ánh xạ tuyến tính liên tục $E\rightarrow \ell^1_K(\mathbf{N})$ đều hoàn toàn liên tục, và mọi ánh xạ tuyến tính liên tục $\ell^1_K(\mathbf{N})\rightarrow E$ đều hoàn toàn liên tục.

f ) Nếu E là phản xạ hoặc nếu đối ngẫu của nó là kiểu đếm được, mọi ánh xạ tuyến tính liên tục $E\rightarrow \ell^1_K(\mathbf{N})$ đều là compact.