Exercice 13, § 1

Soit E un espace de Banach de type dénombrable sur K. On rappelle (EVT, IV, p. 70, exercice 14) qu’une suite $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ d’éléments de E est appelée une base banachique de E si, pour tout $x\in E$, il existe une unique suite de scalaires $(\lambda_n(x))_{n\in\mathbf{N}}$ telle que

où la série converge dans E.

a) Tout espace hilbertien de type dénombrable admet une base banachique ; tout espace $\ell^p$(I), où I est dénombrable, admet une base banachique.

b) L’espace de Banach E des fonctions holomorphes bornées sur le disque ouvert D de rayon 1 dans le plan complexe, muni de la norme $\|f\|=$ sup$_{z\in D}|f(z)|$, possède une base banachique.

c) Tout espace de Banach E admettant une base banachique est un espace d’approximation. Plus précisément, il existe un nombre réel $c\geqslant 0$ tel que $1_E$ appartienne à l’adhérence dans l’espace $\mathscr{L}_{pc}(E)$ de l’ensemble des endomorphismes de rang fini et de norme $\leqslant c$ dans E.